220 likes | 476 Views
Aktsiahindade mudel. Browni liikumine. Robert Brown (1773-1858), botaanik Uuris läbi mikroskoobi terakest veepinnal… …ja avastas väga ebakorrapärase liikumise Robert Kitt proovis seda liikumist järgi teha. Viskasin 2*100 000 korda kulli-kirja
E N D
Browni liikumine • Robert Brown (1773-1858), botaanik • Uuris läbi mikroskoobi terakest veepinnal… • …ja avastas väga ebakorrapärase liikumise Robert Kitt proovis seda liikumist järgi teha. Viskasin 2*100 000 korda kulli-kirja Kui tuli kull, liikusin paremale, kui kiri vasakule… märkisin oma asukoha üles ja…
Juhuslikud protsessid • … on sellised protsessid, kus objekti käitumine on kirjeldatav mingi tõenäosusfunktsiooniga • Näiteks on kulli-kirja viskamine juhuslik protsess • Protsessidel võib olla mälu • Edasine käitumine sõltub eelnevast
Random walk • Random walk on juhuslik protsess • Oodatav tulemus on null: E(x) = ½ x (+1) + ½ x (-1) = 0 • Ilmselt aga ükski ekslemine reaalselt nulli ei jõua… • …ta hajub ning teda saab kirjeldada standardhälbega: keskmine erinevus keskmisest • Kaugus x-teljest on võrdeline ruutjuurega ajast
Aktsiate hinnad • Aktsiate hinnad on lühikeses perspektiivis juhuslikud • Võivad liikuda nii üles, kui alla • Hindade modelleerimiseks kasutatakse juhuslikku ekslemist • Black-Scholes’i analüüs välistab aegrea mälu
Wieneri protsess • Asukoha muutus ajaühikus on võrdne Δz = ε • ε on normeeritud muutuja • Suvalise ajavahemiku ΔT jaoks on Δz väärtused sõltumatud • Δz väärtused on normaajaotusega (z0=0) Δz ~ N (0, )
Üldistatud Wieneri protsess • Asukoha muutus ajaühikus on võrdne: Δx = aΔt + bΔz • Juhuslikule protsessile on lisatud kasvumäär • XT väärtused on normaajaotusega XT~ N (z0+ aΔt, b )
Ito protsess • Üldistatud Wieneri protsess; parameetrite väärtused sõltuvad ajast ja süsteemi olekust • Kasv = a(t, XT) • Hälve = b(t, XT) Δx = a(t,Xt)Δt + b(t,Xt)Δz • Selliseid protsesse eriti palju ei ole
Aktsiahindade mudel • r – aktsia tulusus => r x S x Δt = aktsia hinnatõus lühikeses ajaperioodis • σ – aktsia volatiilsus => σ2 x S2 x Δt = aktsia hinnamuutuse dispersioon lühikeses ajaperioodis • Kuna a ja b (r ja σ) sõltuvad aktsia hinnast, siis on Aktsiate hinnad kirjeldatavad Ito protsessiga
Riski mõõtmine - standardhälve Aastatootluste jaotus Keskmine Aastatootlus Risk standardhälve Suurettevõtete aktsiad 12.2% 20.5% Väikeettevõtete aktsiad 16.9% 33.2% USA valitsuse võlakirjad 5.8% 9.4% USA valitsuse <1a võlakirjad 3.2% 3.8% Inflatsioon 4.4% 3.1% Allikas: Ibbotson Associates, 2003
Standardhälve ja normaaljaotus Näide: Suurettevõtete aktsiad Keskmine tootlus 12.2% Kolme-Sigma reegel: 99.74% juhtudest jääb tootlus kolme standardhälbe sisse
Aktsiahindade üldvalem • dS= rSdt+σSdz dS/S = r dt + σdz • Näide • Olgu: r = 15%; σ = 25%; S=140; t=1 nädal • ΔS = 140 (0,15*0,0192 + 0,25*ε*0,1387) • ΔS = 140 (0,00288 + ε*0,03468) • ΔS = 0,4032 + ε*4,8552 • Tõenäosusega 99,72% on aktsia hind nädala pärast: 125,84<S<154,97
Ito lemma • Olgu funktsioon G argumentidega t, Xt • Ito lemma väidab, et kui X(t,Xt) on Ito protsess ja kehtib valem…: • …siis on ka G(t,Xt) Ito protsess
Aktsiate hinnad ja Ito lemma • Ito lemma aktsiahindade mudeli kohta: • Selgub, et nii funktsioon G kui ka aktsia hind S sõltuvad ühest ja samast juhuslikust muutujast z!
Aktsiate hindade log-normaalne omadus • Ito lemmast tuleneb, et aktsiate hindade muutused on jaotunud log-normaalselt • G = ln S => • G’=1/S; G’’=-1/S2 • dG = [(1/S)rS+0+½(-1/S2)σ2S2]dt + (1/S) σSdz • dG = (r - σ2/2)dt + σdz => ln St~Φ(ln S + (r - σ2/2)t,σ )
Black-Scholesi analüüs • Ito funktsioon G ja aktsiahindade mudel S sõltusid ühest ja samast juhuslikust muutujast z. Koostame aktsiale derivaadi f • Koostame portfelli, kus on: • -1 derivatiivi f • df/dS aktsiat S • P = -f + (df/dS)S • Portfelli muutus aktsia hinna muutudes: ΔP = -Δf + ΔS(df/dS)
Black-Scholesi valem • Portfelli hind ei sõltu juhuslikust muutujast. Seega peaks portfell olema riskivaba – täpsemalt teenima intressi rf • Saadakse Black-Scholesi teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand, mille lahendamisel saadakse Euroopa tüüpi optsiooni hindamise valemid