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Dynamique d’une dune solitaire dans une cuve de Hele-Shaw. Pierre Trochet Présentation de PPL Le 1 er septembre 2005. Université Paris VI. Université Paris Sud. Techniques Avancées. Introduction (1/2). Dunes aériennes ou sous-marines Elles existent sur Terre mais aussi sur Mars
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Dynamique d’une dune solitaire dans une cuve de Hele-Shaw Pierre Trochet Présentation de PPL Le 1er septembre 2005 Université Paris VI Université Paris Sud Techniques Avancées
Introduction (1/2) • Dunes aériennes ou sous-marines • Elles existent sur Terre mais aussi sur Mars • Dynamique complexe et encore peu connue
Introduction (2/2) • Ici, étude 2D dans une cuve de Hele-Shaw : Ordres de grandeur : b = 2 mm, Lc = 50 cm, Hc = 15 cm, Lb = 6 cm, Uo = 24.7 cm/s Vitesse dans le désert : ~40 m/an, dans notre cuve : ~3cm/min
Plan de la présentation • Introduction • Modélisation dans une cuve de Hele-Shaw • Résolution numérique • Expériences en laboratoire • Conclusion et perspectives
Modélisation Démarche générale : • Résolution des équations de Navier-Stokes pour le fluide. • Le profil de vitesses donne le frottement sur la bosse. • On relie le frottement au flux de particules en suspension. • Par une loi de conservation, on a la relation entre la hauteur de la bosse et le flux.
Équations de Navier-Stokes (1/3) Hypothèses de départ : • Fluide (eau) incompressible, visqueux et en écoulement laminaire. • Bosse de hauteur petite devant sa longueur (α <<1). • Profil de vitesses de Poiseuille selon la coordonnée z et vitesse selon z négligeable. • Pas de gravité.
Équations de Navier-Stokes (2/3) On injecte alors ces formes dans les équations de Navier-Stokes et on intègre selon z entre –b/2 et b/2.
Équations de Navier-Stokes (3/3) En adimensionnant avec : Il vient (moyenne des équations) :
Solution fluide parfait (Re>>1) Condition limite : Après passage dans l’espace de Fourier, il vient :
Solution de couche limite On pose : Par P.M.D. : D’où : Condition limite : Raccordement :
Résolution du problème complet (1/2) • Apparition d’une singularité de GoldsteinPour α ~ 0.23, valeur du frottement ~ 0=> épaisseur de couche limite « infinie » • Solution : théorie de la triple couche=> permet de contourner le problème
Résolution du problème complet (2/2) Ici, on se limite à la « couche limite interactive » : La couche limite peut « rétroagir » sur le fluide parfait. => Il faut modifier la forme de la perturbation de Ue
Relation d’Exner • Relie la hauteur de la bosse et le flux de particules. • L’adimensionnemnent donne accès à un temps de déplacement de la dune :
Relation flux/frottement On définit un flux saturé : On reprend la relation d’Andreotti et coll. : Soit :
Résolution numérique • 2 méthodes pour le fluide : • Résolution d’un système linéaire par transformée de Fourier rapide. • Résolution du système complet par l’algorithme de Keller-Box. • Pour la bosse, utilisation d’un schéma explicite. (Prise en compte d’un arrachement maximal)
Exemple sur un cas concret • On prend : • Ce qui donne : • On définit une vitesse pour la dune : . Ici, d’où :
Bosse et valeur du flux de particules (Grandeurs adimensionnées)
Comparaison des deux méthodes de résolution (vitesse extérieure)
Expériences en laboratoire • Mesure de longueurs, hauteurs et vitesses sur une dune en mouvement. • La hauteur, la longueur et l’inverse de la vitesse évoluent en fonction de la masse comme vu précédemment. (résultats non personnels).
Conclusion et perspectives • Théorie inspirée de l’expérience : peut-être affinée en jouant sur les coefficients. • Partie numérique : résolution « fluide » satisfaisante, résolution bosse perfectible. • Partie expérimentale : la plus importante > inventer de nouvelles expériences pour lsat, Qsat,... > ou faire de nombreuses simulations pour être le plus près possible de l’expérience.