ALJABAR ABSTRAK

1. SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN BINA INSAN MANDIRI STKIP BIM ALJABAR ABSTRAK DosenPembimbing GisoesiloAbudi

2. MateriPokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

3. TujuanInstruksionalUmum Setelahmempelajarimateriini, Andadapatmemahamitentangoperasibiner, grupdansifat-sifatsederhanadarigrup, subgrupsertatentanggrupsiklik

4. PertemuanKedua G r u p 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 2. Teorema 1. Definisi KeMateriKetiga

5. GrupSiklik Pada sub pokokbahasaniniakandijelaskansuatuordedarisuatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positifataunegetif) atauperkaliandarisuatuunsurtetapdariGruptersebut. Grup yang sepertiinidinamakanGrupSiklik.

6. Definisi (Terhadapperkalian) Grup (G, .) disebutsiklik, bilaadaelemen a ∈G sedemikianhingga G ={an| n ∈Z}. Elemen a disebut generator darigrupsikliktersebut. (Terhadappenjumlahan) Grup (G,+) disebutsiklik, bilaadaelemen a ∈G sedemikianhinggaG ={na | n ∈Z}.

7. Definisi Misalkan(G,*) adalahsuatuGrupdan a ∈G, maka generator a yang membangunsuatuSubgrup [a] dinamakanSubgrupSiklikdari (G,*). Jadiyang dimaksuddenganSubgrupSiklikyaitusuatuSubgrup yang dibangkitkanolehsatuunsur. Misalkan (G,*) adalahsuatuGrupdan a ∈ G, maka generator a yang membangunsuatuSubgrup [a] dimana [a] = G, makaSubgruptersebutdinamakanGrupSiklik.

8. Dengankata lain, GrupSiklikadalahSubgrup yang unsur-unsurnyamerupakanunsur-unsurdariGrupitusendiri. SuatuGrupSiklikbisaberanggotakanterhinggabanyaknyaunsur, bisajugaberanggotakantakhinggaunsur-unsur. GrupSiklik yang beranggotakanbanyaknyaunsurterhinggadinamakanGrupSiklikberhinggadanGrupSiklik yang beranggotakanbanyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

9. Contoh Misalkan G = {-1, 1} adalahsuatuGrupterhadapoperasiperkalian (G, .). TentukanGrupSiklikdariGruptersebut. Penyelesaian: Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1 [-1] = {(-1)n | n ∈ Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …} = {-1, 1}

10. [1] = {(1)n | n ∈Z} = {(1)0, (1)1, (1)2, …} = {1} generator -1 adalahmembangunsuatuGrupSiklik, sehingga: [-1] = {-1, 1} generator 1 adalahmembangunSubgrupSiklik, sehingga: [1] = {1}.

11. Contoh Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalahsuatuGrupterhadappenjumlahan (G,+). TentukanGrupSiklikdariGruptersebut. Penyelesaian Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3 [0] = {n(0) | n ∈Z} = {0} [1] = {n(1) | n ∈Z} = {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …} = {0, 1, 2, 3}

12. Penyelesaian [2] = {n(2) | n ∈Z} = {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …} = {0, 2} [3] = {n(3) | n ∈ Z} = {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …} = {0, 3, 2, 1} generator 1 dan 3 adalahmembangunsuatuGrupSiklik, sehingga: [1] = [3] = {0, 1, 2, 3} generator 0 dan 2 adalahmembangunSubgrupSiklik, sehingga: [0] = {0} dan [2] = {0, 2}

13. Contoh Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh1. Penyelesaian : [1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Jadi, 1 merupakangenertor yang membentukGrupSikliktakhingga.

14. Contoh Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalahGrupbilangankompleksterhadapperkalian(I4, .). TentukanGrupSiklikdariGruptersebut. Penyelesaian : Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, idan -i [1] = {(1)n| n ∈Z} = {(1)0, (1)1, (1)2 , …} = {1} [-1] = {(-1)n| n ∈Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …} = {-1, 1}

15. [i] = {(i)n| n ∈ Z} = {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, …} = {1, i, -1, -i} [-i] = {(-i)n| n ∈Z} ={…, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, …} = {1, -i, i, -1 } generator idan -iadalahmembangunsuatuGrupSiklik, sehingga: [i] = [-i] = {1, -1, i,-i} generator 1 dan -1 adalahmembangunSubgrupSiklik, sehingga: [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}

16. Definisi SetiapGrupSiklikadalahGrupAbelian. Bukti : Misalkan (G, .) merupakanGrupSiklikdan a merupakanpembangundari G, sehingga G = {an| n ∈Z}.

17. Ambil x, y ∈G, sehingga x = amdan y = an, untuk m, n ∈Z. x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x Jadi, (G, .) merupakanGrupKomutatif. Misalkan (G, +) merupakanGrupSiklikdan a merupakanpembangundari G, sehingga G ={na| n ∈Z}. Ambil x, y ∈G, sehingga x = nadan y = ma, untuk m, n ∈Z. x + y = na+ ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na= y + x Jadi, (G, +) merupakanGrupKomutatif.

18. Latihan • Diketahuimatriks adalahsuatugrupterhadapperkalian. Tunjukkanapakah (M, .) merupakansuatugrupsiklik. 2. Diketahuimatriks adalahsuatugrupterhadapperkalian. Tunjukkanapakah (N, .) merupakansuatugrupsiklik.

19. Latihan 3. BuktikandengancontohbahwaSubgrupdariGrupSiklikmerupakanjugaGrupSiklik.

20. Thank You ! SelamatBelajar