Mari Belajar Matematika By : Yessy Anggraeni Kusuma 103174021

1. Mari Belajar Matematika By : Yessy Anggraeni Kusuma 103174021 Pendidikan matematika FMIPA Universitas Negeri Surabaya

2. LOGIKA MATEMATIKA Kelas X

3. Klik salah satu ! Pernyataan Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Ingkaran atau negasi suatu pernyataan Kalimat Terbuka

4. Pernyataan Adalahkalimat yang hanyabenarsajaatausalahsaja, tetapitidakdapatsekaligusbenardansalah. Contoh: • Menaraitutinggi. • Jumlahhariada 7. • Tangkaplahorangitu! • BerapaUmurmusekarang? (Pernyataan) (Pernyataan) (BukanPernyataan) (BukanPernyataan)

5. LambangdanNilaiKebenaran SuatuPernyataan Lambang suatupernyataandilambangkandenganmemakaihurufkecil, sepertia, b, c,…,p,q,r,…danseterusnya. Contoh: Pernyataan “4 adalahbilangangenap” dapatdilambangkandenganmemakaihurufp. Ditulis: P : 4 adalahbilangangenap.

6. NilaiKebenaranSuatuPernyataan Nilaibenaratausalahdarisuatupernyataan dapatditentukanmemakai: Dasar Empiris: Menentukanbenaratausalahdarisebuahpernyataanberdasarkanfakta yang adaataudijumpaidalamkehidupansehari-hari Contoh: 1. “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar. 2. “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah. Dasar Tak Empiris: Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika. Contoh: 1. “Nilai x untuk persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar. 2. “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

7. Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), • Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran s (salah). Contoh: Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau) 1. τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”. 2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

8. Ingkaranatau NegasiSuatuPernyataan Adalahpernyataan yang menyangkalataumengingkaripernyataanawal Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat “tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p. TabelKebenaran Ingkaransuatupernyatanmenyatakankebalikandaripernyataanitusendiriberartinilaikebenarannyaadalahterbalik Jika p bernilaibenar, maka ~p bernilaisalah Jika p bernilaisalah, maka ~p bernilaibenar.

9. Contoh: p : 2 + 3 = 5 ~p : 2 + 3 ≠ 5 q : Semua bilangan prima adalah ganjil ~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil atau ~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil

10. Kalimat Terbuka Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya ( benar atau salah ).Tetapiapabilavariabeldigantinilaitertentuakanmenjadisuatupernyataan. 2x + 3 = 11 (kalimatterbuka) Y – 3 < 4 (kalimatterbuka) Contoh: Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah. Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar. Perhatikan contoh!! Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu.

11. Kesimpulan • Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya. • Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar. • Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari terbuka itu.

12. PernyataanMajemuk - KebenaranSuatuPernyataanMajemuk - NegasiSuatuPernyataanmajemuk

13. KebenaranSuatuPernyataanMajemuk - Disjungsi - Konjungsi - Implikasi - Biimplikasi

14. Disjungsi Adalahpernyataan yang dibentukdariduapernyataan p dan q dengankatahubung “atau”. TabelKebenarandisjungsi Notasinya: p v q Dibaca: p atau q

15. Contoh: Tentukannilaikebenarandari: Jawab: 6 adalahbilangangenapatau 13 adalahbilangan prima. Misal: p : 6 adalahbilangangenap q : 13 adalahbilanagn prima p bernilaibenardan q bernilaibenarsehinggapernyataan 6 adalahbilangangenapatau 13 adalahbilangan prima bernilaibenar

16. p q Ù Konjungsi Adalahpernyataan yang dibentukdariduapernyataan p dan q dengankatahubung “dan”. Notasinya: Tabel kebenaran konjungsi: Dibaca: p dan q

17. Contoh: 13 bilangan prima dan 132 = 169 Jawab: Misal: p : 13 bilangan prima Q : 132 = 169 p bernilaibenardan q bernilaibenarsehinggapernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169 berniaibenar.

18. Implikasi Adalahpernyataanmajemuk yang disusundariduapernyataan p dan q dalambentuk “jika p, maka q”. Notasinya: Tabelkebenaranimplikasi: p  q Dibaca: Jika p, maka q Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.

19. Contoh: Tentukannilaikebenarandariimplikasiberikut: Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalahbilangan prima Jawab: Misal: P : 3 + 2 = 5 Q : 5 adalah bilangan prima Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima B B Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan kesimpulan benar

20. Biimplikasi Adalahpernyataanmajemuk yang disusundariduapernyataan p dan q dalambentuk “p jikadanhanyajika q”. Tabelkebenaranbiimplikasi: Notasinya: p q Dibaca: p jika dan hanya jika q

21. Contoh: Tentukannilaikebenarandariimplikasiberikut: 161/2 = 4jikadanhanyajika16log 4 = 1/2 Jawab: Misal: p :161/2 = 4 Q : 16log 4 = 1/2 161/2 = 4jikadanhanyajika16log 4 = 1/2 B B Merupakanbiimplikasi yang benar

22. Kliksalahsatu NegasiSuatuPernyataanMajemuk - NegasiKonjungsi - NegasiDisjungsi - NegasiImplikasi - NegasiBiimplikasi

23. NegasiKonjungsi Negasidaripernyataanp ˄qadalah~p v ~q Perhatikan contoh konjungsi berikut. p : saya suka apel. q : saya tidak suka wortel. p q : saya suka apel dan tidak suka wortel. ~( p q) : saya tidak suka apel atau saya suka wortel.

24. NegasiDisjungsi Negasidisjungsidaripernyataanp v qadalah~p ~q Perhatikan contoh berikut: p : Andi pergi ke supermarket. q : Andi menonton di bioskop. p v q : Andi pergi ke supermarket atau menonton di bioskop. ~(p v q) : Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menonton di bioskop.

25. NegasiImplikasi Negasi pernyataan “p q” adalah “p ~q” Perhatikancontohberikut: p : Nico belajar dengan giat. q : Nico naik kelas. p q : Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas. ~(p q) : Nicobelajardengangiatdanternyatanicotidaknaikkelas.

26. NegasiBiimplikasi Negasi pernyataan “p q” adalah(p ~q) v (q ~p) Perhatikancontohberikut: P : Ulangandibatalkan Q : Diadakankerjabakti p q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti ~(p q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan.

27. q p p q konvers invers Kontraposisi invers ~p  ~q konvers ~q ~p Konvers, Invers, danKontraposisi Dari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain: q p, yang disebut konvers dari p q. ~p  ~q, yang disebut invers dari p q. ~q  ~p, yang disebut kontraposisi dari p q.

28. Contoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi! Jika harga minyak naik, maka harga barang naik. Konversnya (q p) : jika haga barang naik maka harga minyak naik. Invernya (~p  ~q) : jika harga minyak tidak naik maka harga barang tidak naik. Kontraposisi (~q ~p) : jika harga barang tidak naik mak harga minyak tidak naik.

29. TautologidanKontradiksi • Tautologiadalahpernyataanmajemuk yang selalubernilaibenar. • KontradiksiadalahPernyataanmajemuk yang selalubernilaisalah. 1. Tautologi

30. TautologidanKotradiksi 2. Kontradiksi

31. Kuantor Universal danKuantorEksistensial - Kuantor Universal - KuantorEksistensial

32. KUANTOR UNIVERSAL DAN EKSISTENSIAL Pengertian Semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C Pernyataan ini mengandung arti bahwa setiap siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C adalah siswa yang pandai. Semua dinamakan kuantor universal, ditulis ∀x dan dibaca untuk setiap x atau untuk semua x Jika dihubungkan dengan menggunakan pendekatan himpunan, perhatikan himpunan-himpunan berikut U = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo A = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C yang laki-laki B = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8 yang laki-laki

33. Pernyataan “Semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C pandai” ekuivalen dengan pernyataan implikasi : “Jika x adalah siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C maka x adalah siswa pandai”

34. Beberapa siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C pandai Pernyataan ini mengandung arti bahwa dari himpunan siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C secara keseluruhan, ada yang pandai Beberapa dinamakan kuantor eksistensial ditulis ∃x dan dibaca ada suatu x atau terdapat suatu x Jika dihubungkan dengan menggunakan pendekatan himpunan, perhatikan himpunan-himpunan berikut U = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo A = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C B = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8 yang pandai

35. Pernyataan “Beberapa siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C pandai” ekuivalen dengan pernyataan : “Sekurang-kurangnya ada seorang siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C yang pandai”

36. Ingkaran Pernyataan Berkuantor a. Ingkaran dari pernyataan “untuk semua x, sehingga berlaku p(x)” adalah “ada x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis –[(∀x) p(x)] ≡ (∃x) –p(x) Contoh : Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup akan mati” adalah “Tidak benar bahwa semua makhluk hidup akan mati” atau “Beberapa makhluk hidup tidak akan mati” b. Ingkaran dari pernyataan “ada x sehingga berlaku p(x)” adalah “untuk semua x berlaku bukan p(x)”, ditulis –[∃(x) p(x)] ≡ (∀x) –p(x) Contoh : Ingkaran dari “Beberapa siswa memakai kerudung” adalah “Tidak benar bahwa beberapa siswa memakai kerudung” atau “Semua siswa tidak memakai kerudung”

38. PenarikanKesimpulan - Prinsip Modus Ponens - Prinsip Modus Tolens - Prinsip Silogisme

39. SILOGISME Premis 1 : p → q Premis 2 : q → r Kesimpulan: p → r Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan menjadi [(p → q) ^(q → r)] → (p → r)

40. Tabel Kebenaran Contoh : Premis 1 : Jika kamu belajar, maka kamu pintar (benar) Premis 2 : Jika kamu pintar, maka kamu naik kelas (benar) Kesimpulan : jika kamu belajar, maka kamu naik kelas (benar)

41. MODUS PONENS Premis 1 : p → q Premis 2 : p Kesimpulan : q Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat dituliskan menjadi [(p → q) ^ p] → q

42. Tabel Kebenaran Contoh Premis 1 : Jika kamu belajar, maka kamu naik kelas (benar) Premis 2 : Kamu belajar (benar) Kesimpulan : kamu naik kelas (benar)

43. MODUS TOLLENS Premis 1 : p → q Premis 2 : –q Kesimpulan : –p Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan menjadi [(p → q) ^ –q] → –p

44. Tabel Kebenaran Contoh : Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka saya memakai jas hujan (benar) Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar) Kesimpulan: hari ini tidak hujan (benar)

45. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Bukti Langsung Penarikan kesimpulan dengan silogisme, modus ponens, dan modus tollens merupakan beberapa contoh dari pembuktian sifat matematika dengan bukti langsung. Bukti Tidak Langsung a.Bukti dengan kontraposisi Implikasi p → q dapat dibuktikan dengan kontraposisinya, yaitu dengan membuktikan –q → –p . Metode ini didasarkan pada dalil atas teorema bahwa suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. b.Bukti dengan kontradiksi Jika kita ingin membuktikan sebuah pernyataan tunggal p. Kita dapat membuktikannya dengan cara menunjukkan bahwa –p salah. Oleh karena –p salah, maka p haruslah benar. Pembuktian sifat matematika dengan cara ini disebut bukti tak langsung dengan kontradiksi.

46. Contoh : Dengan menggunakan bukti tak langsung, buktikan bahwa “Jika n² bilangan bulat ganjil, maka n ganjil” Jawab : p : “Jika n² bilangan bulat ganjil, maka n ganjil” adalah suatu implikasi Maka –p : “n² bilangan bulat ganjil dan n genap” Jelas bahwa –p : “n² bilangan bulat ganjil dan n genap” adalah pernyataan yang salah. Dengan demikian, pernyataan p : “Jika n² bilangan bulat ganjil, maka n ganjil” adalah benar

47. TERIMA KASIH