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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE AGRONOMÍA POSTGRADO EN ESTADÍSTICA. Distribuciones Normales. Bivariadas y Multivariadas. DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES .
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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE AGRONOMÍA POSTGRADO EN ESTADÍSTICA Distribuciones Normales Bivariadas y Multivariadas
DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES • Cuando hay más de una variable aleatoria presente (es decir, hay dos o más), siempre está la posibilidad de que de alguna manera estén relacionadas. Por eso se trabaja con su función de distribución conjunta (y su función de densidad conjunta, continua o discreta).
DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES • Se habla en ese caso de un vector aleatorio (lo anotaremos aquí X), distribuido según una función de distribución FX que ahora toma sus valores en n (donde n es la cantidad de variables). Habrá, como antes en el caso unidimensional, una función de densidad fX, que verificará: • Para el caso continuo: • Y para el discreto:
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • Sea ( X, Y ) una variable bidimensional continua que toma todos los valores en el plano euclidiano. Decimos que ( X, Y ) tiene distribución normal bivariada si su función conjunta está dada por:
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • La función generadora de momentos de la distribución normal es: Y los momento pueden ser hallados calculando las derivadas de m(t1, t2) en t1=0, t2=0. Así, pues
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • Y, por tanto la varianza de x es, • Análogamente derivando respecto a t2, se halla la media y la varianza de y, que son Se obtienen también los momentos mixtos • Derivando m(t1,t2) r veces respecto a t1 y s veces respecto a t2, y haciendo a continuación t1 y t2iguales a cero. La covarianza de x y y es:
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • El parámetro es el coeficiente de correlación entre las variables X e Y :
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • Si = 0, entonces X e Y son independientes, o sea: • Ahora, el valor medio de una variante en una distribución condicional recibe el nombre de regresión cuando se considera como función de las variantes fijadas en la distribución condicional.
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • Así, la regresión para x es: • Que en este caso es una función lineal de y. Para distribuciones bivariantes en general, la media de x en la distribución condicional de x, dado y=y, será cierta función g(y) y la ecuación x=g(y). • Representada en el plano x,yda la curva para x. Se trata de una curva que da la situación de la media de x para los diversos valores de dey en la densidad condicional de x dado y.
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • Para la distribución normal bivariante, la curva de de regresión es la recta obtenida representando: Figura 1. Curva de de regresión para distribución normal bivariante, y la función de densidad condicional de x para los valores particulares y0 y y1, de y.
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Ejemplo: Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N (,), siendo : Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X. - ¿Cuál es el valor más probable de Y?
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA • Primero sacamos 1 y 2 (sacándole raíz a los elementos de la diagonal), y luego con eso obtenemos . • La respuesta consiste en encontrar:
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA A) Variables independientes B) Variables dependientes
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Ejemplos de correlación nula
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Ejemplos de correlación lineal positiva: cercano a 1
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Ejemplos de correlación lineal negativa: acercándose progresivamente a -1
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) • La mayoría de los métodos multivariados tradicionales dependen de vectores de datos que son muestras aleatorias provenientes de distribuciones normales multivariadas. • Entonces es importante comprender qué se requiere para que un vector de variables aleatorias como: Sea multivariado normalmente distribuido
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) • Se dice que un vector de variables aleatorias • Tiene una distribución normal multivariada si: • Tiene una distribución normal univariada para todos los conjuntos posibles de valores seleccionados para los elementos en el vector a.
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) • La distribución Normal escalar tiene como función de densidad: • Y escribimos XN (, σ2) para expresar que x tiene distribución normal con media y varianza σ2. • Generalizando esta función, diremos que un vector x sigue una distribución Normal p-dimensional si su función de densidad es:
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) Las propiedades principales son: • Las distribución es simétrica alrededor de La simetría se comprueba sustituyendo en la densidad x por ±a y observando f(+a)= f( –a). • La distribución tiene un único máximo en Al ser V definida positiva, el término del exponente es siempre positivo, y la densidad f(x) será máxima cuando dicho término sea cero, lo que ocurre para x=. • La media del vector aleatorio Normal es y su matriz de varianzas y covarianzas es V. Estas propiedades, que pueden demostrarse rigurosamente, se deducen al comparar las densidades univariante y multivariante.
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) • Si p variables aleatorias tienen distribución conjunta normal y están incorreladas son independientes. La comprobación de esta propiedad consiste en tomar en la definición la matriz Vdiagonal y comprobar que entonces f(x)=f(x1),…, f(xp). • Cualquier vector x Normal p-dimensional con matriz V no singular puede convertirse mediante transformación lineal en un vector x normal p-dimensionales con vector de medias 0 y matriz de varianzas y covarianzas igual a la identidad (I). Llamaremos normal p-dimensional estándar a la densidad de Z, que vendrá dada por: (1)
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) La demostración de esta propiedad es como sigue: al ser V definida positiva existe una matriz cuadrada A simétrica que consideramos su raíz cuadrada y verifica: V=AA Definiendo una nueva variable: Z=A-1((x - ), entonces x=+AZ y la función de densidad de z es: fz(Z)=fx(+AZ)|A| y utilizando AV-1A=I, se obtiene (1). Por tanto, cualquier vector de variable Normales X en Rp puede transformarse en otro vector Rp de variables normales independientes y de varianza unidad. • Las distribuciones marginales son normales. Si las variables son independientes la comprobación de esta propiedad es inmediata. (2)
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional) • Cualquier sub conjunto de h<p variables es normal h-dimensional. Es una extensión de la propiedad anterior y se demuestra análogamente. • Si y es (k x 1), k≤p, el vector y=Ax, donde A es una matriz (k x p), es normal k-dimensional. En particular, cualquier variable escalar y=ATx, (siendo AT un vector 1xp no nulo) tiene distribución normal.