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Methoden der Politikwissenschaft Faktorenanalyse Siegfried Schumann

Methoden der Politikwissenschaft Faktorenanalyse Siegfried Schumann. Organisatorische Vorbemerkungen:. Für Sozialwissenschaften meist irrelevant: Vorgeschaltete Mittelwertbildung (Hausfrauen-Urteile) Nicht behandelt: Eignung der Korrelationsmatrix Graphische Interpretation der Faktoren.

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Methoden der Politikwissenschaft Faktorenanalyse Siegfried Schumann

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Presentation Transcript

  1. Methoden der PolitikwissenschaftFaktorenanalyseSiegfried Schumann

  2. Organisatorische Vorbemerkungen: • Für Sozialwissenschaften meist irrelevant: • Vorgeschaltete Mittelwertbildung (Hausfrauen-Urteile) • Nicht behandelt: • Eignung der Korrelationsmatrix • Graphische Interpretation der Faktoren

  3. Übersicht zur Faktorenanalyse (FA) 1. Korrelationsmatrix: 2. Grundgleichung der FA: Ladung · Score 3. Durch Einsetzen: Korrelationsmatrix der Faktoren „C“ Falls Faktoren unkorreliert: C = Einheitsmatrix:(Fundamentaltheorem d. FA) 4. Erweiterung: (spez. Varianz + Messfehler; wird festgelegt; Ladungen werden so gewählt, dass 1. Faktor max. Varianz erklärt) 5. Berechnung der Faktorwerte: Gleichung nicht immer lösbar; Ergebnis: Faktorscores Beobachteter Wert ↔ Linearkombination mehrerer (errechneter) Faktoren

  4. Vorarbeiten: Berechnung der Standardabweichung

  5. Errechnung der Korrelationsmatrix aus z-Werten Zur Erinnerung:

  6. Konstellation (Demonstrationsbeispiel nach Bortz): • Untersucht werden 6 „Objekte“ (Personen): • Karin, Heinz, Sonja, Kurt, Eva, Karl • Die „Objekte“ haben Ausprägungen bei den „Merkmalen“ (Testergebnisse): • Bi: Bilderrätsel • Ma: Mathematikaufgabe • Pu: Puzzle • Re: Reproduktions (Gedächtnis-) Aufgabe • Kr: Kreuzworträtsel • Es ergeben sich folgende korrelative Zusammenhänge (schematisch): F1: praktische Intelligenz F2: theoret. Intelligenz + F3 + F4 + F5 Bi Pu Re Ma Kr • Vermutung: • Scheinkorrelation! Nur wenn diese Vermutung zutrifft, ist eine FA sinnvoll!

  7. Zur Grundgleichung der FA (Bortz-Beispiel) • Bildung von 5 neuen orthogonalen Variablen (bei n = 5 „Merkmalen“) • F1 + F2 + F3 + F4 + F5 • Schritt für Schritt nacheinander – rein rechnerisch! • Restriktion: jeweils maximale (Rest-)Varianzerklärung • bei n = 5 Faktoren: gesamte Ausgangsvarianz erklärt! • Korrelation der neuen Variablen (Faktoren) mit den ursprünglichen Variablen • F1 F2 F3 F4 F5 ∙ Bi Ma Pu Re Kr • Ladungen:a • Für die neuen Variablen (Faktoren) gilt: • Für jedes „Objekt“ wird eine Ausprägung auf jedem Faktor errechnet. • Faktorscore: p • Beispiele zum Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse (S. 207 / 208) • X(Bilderrätsel, Eva) = a(Bilderrätsel, F1) ∙ p(F1, Eva) + a(Bilderrätsel, F2) ∙ p(F2, Eva) + … + a(Bilderrätsel, F5) ∙ p(F5, Eva) • X(Puzzle, Heinz) = a(Puzzle, F1) ∙ p(F1, Heinz)+ a(Puzzle, F2) ∙ p(F2, Heinz) + … + a(Puzzle, F5) ∙ p(F5, Heinz) Nutzen der „Umrechnung“? Abbruchmöglichkeit! Beobachteter Wert ↔ Linearkombination mehrerer (errechneter) Faktoren

  8. Konstellation (Backhaus u.a.): • Untersucht werden 6 „Objekte“: • Rama, Sanella, Becel, Du darfst, Holländische Butter, Weihnachtsbutter • Die „Objekte“ haben Ausprägungen bei den „Merkmalen“ (Variablen): • AF: Anteil ungesättigter Fettsäuren • Ka: Kaloriengehalt • Vi: Vitamingehalt • Ha: Haltbarkeit • Pr: Preis • Es ergeben sich folgende korrelative Zusammenhänge (schematisch): F1: Gesundheit F2: Wirtschaftlichkeit + F3 + F4 + F5 AF Ka Vi Ha Pr • Vermutung: • Scheinkorrelation! Nur wenn diese Vermutung zutrifft, ist eine FA sinnvoll!

  9. Zur Grundgleichung der FA (Backhaus u.a.) • Bildung von 5 neuen orthogonalen Variablen (bei n = 5 „Merkmalen“) • F1 + F2 + F3 + F4 + F5 • Schritt für Schritt nacheinander – rein rechnerisch! • Restriktion: jeweils maximale (Rest-)Varianzerklärung • bei n = 5 Faktoren: gesamte Ausgangsvarianz erklärt! • Korrelation der neuen Variablen (Faktoren) mit den ursprünglichen Variablen • F1 F2 F3 F4 F5 ∙ AF Ka Vi Ha Pr • Ladungen:a • Für die neuen Variablen (Faktoren) gilt: • Für jedes „Objekt“ wird eine Ausprägung auf jedem Faktor errechnet. • Faktorscore: p • Beispiele zum Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse (S. 207 / 208) • X(Kalorien, Becel) = a(Kalorien, F1) ∙ p(F1, Becel) + a(Kalorien, F2) ∙ p(F2, Becel) + … + a(Kalorien, F5) ∙ p(F5, Becel) • X(Preis, Du darfst) = a(Preis, F1) ∙ p(F1, Du darfst)+ a(Preis, F2) ∙ p(F2, Du darfst) + … + a(Preis, F5) ∙ p(F5, Du darfst) Nutzen der „Umrechnung“? Abbruchmöglichkeit!

  10. Weitere Schritte der Faktorenanalyse I • Kommunalitätenproblem • R = A ∙ A´ + U • Explizite Unterscheidung in gemeinsame Faktoren: A – spezifische Faktoren: U • U beschreibt spezifische Varianz einer Variablen + Meßfehler • Der Teil der Gesamtvarianz einer Variablen, der durch die Faktoren erklärt werden soll, muss festgelegt werden (Kommunalität) • Schätzung der Kommunalitäten • Gesamte Varianz soll erklärt werden → Hauptkomponentenanalyse (PC) • Schätzung nach inhaltlichen Vorgaben → Hauptachsenanalyse (PAF) • Kriterium oft: r2max mit anderer Variablen; multiples Bestimmtheitsmaß • Bestimmung durch Iterationsprozeß → Hauptachsenanalyse (PAF) • keine Eingriffsmöglichkeit; • Kriterium: Konvergenz der Iterationen; • Startwert oft: Multiples Bestimmtheitsmaß Items: keine Einzelrestvarianz! (spez. Varianz + Fehlervarianz) SPSS

  11. Weitere Schritte der Faktorenanalyse II • Festlegung der Zahl der zu extrahierenden Faktoren • Kaiser-Kriterium • Scree-Test • Meist (oblique/rechtwinklige) Rotation der Faktoren (Varimax) • „gleichwertige Lösungen“ • Ziel meist: möglichst gute Annäherung an Einfachstruktur • Gelegentlich: schiefwinklige Rotation • eigentlich wäre jetzt neue FA nötig! • Interpretation der Faktoren! • erster Schritt: Ladungen!

  12. Weitere Schritte der Faktorenanalyse III • Bestimmung der Faktorwerte (Scores) • Z = A ∙ P (Grundgleichung der FA; Z ist bekannt; A wurde bestimmt) • Auflösung nach P: Z = A ∙ P │mult. von links mit inverser Matrix A-1 ∙ Z = A-1 ∙ A ∙ P │ A-1 ∙ A = E (Einheitsmatrix) A-1 ∙ Z = E ∙ P │ E ∙ P = P A-1 ∙ Z = P • Problem: i.d.R. nicht quadratische Faktorenmuster A (Ziel: weniger Faktoren als Variablen!) → Matrix-Inversion nicht möglich! • Lösung: Schätzverfahren (s. S. 232)

  13. Beispiel: SPSS-Kommando FACTOR /VARIABLES fr10_1 fr10_2 fr10_3 fr10_4 fr10_5 fr10_6 fr10_7 fr10_8 fr10_9 fr10_10 fr10_11 z11.1 z11.3 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS fr10_1 fr10_2 fr10_3 fr10_4 fr10_5 fr10_6 fr10_7 fr10_8 fr10_9 fr10_10 fr10_11 z11.1 z11.3 /PRINT UNIVARIATE CORRELATION EXTRACTION ROTATION /FORMAT SORT /PLOT EIGEN /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PAF /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX /METHOD=CORRELATION .

  14. Deskriptive Statistiken

  15. Screeplot

  16. Faktormatrix (unrotiert!) Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse. 3 Faktoren extrahiert. Es werden 12 Iterationen benötigt.

  17. Kommunalitäten Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse.

  18. Erklärte Gesamtvarianz – unrotiert / rotiert Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse. Eigenwerte

  19. Rotierte Faktorenmatrix Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse. Rotationsmethode: Varimax mit Kaiser-Normalisierung. a Die Rotation ist in 5 Iterationen konvergiert.

  20. Zusammenfassung der Ergebnisse erkl. Varianz = Eigenwerte : 13 Eigenwerte erklärte Varianz insgesamt: 57.532%

  21. SPSS-Ergebnis für: PC, NFACTORS = 13 !

  22. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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