1 / 36

ALJABAR ABSTRAK

ALJABAR ABSTRAK. Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi. Materi Pokok. ALJABAR ABSTRAK. OPERASI BINER. G R U P. SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP. SUB GRUP. GRUP SIKLIK. Tujuan Instruksional Umum.

noe
Download Presentation

ALJABAR ABSTRAK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ALJABAR ABSTRAK DosenPembimbing GisoesiloAbudi MATEMATIKA

  2. MateriPokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

  3. TujuanInstruksionalUmum Setelahmempelajarimateriini, Andadapatmemahamitentangoperasibiner, grupdansifat-sifatsederhanadarigrup, subgrupsertatentanggrupsiklik

  4. PertemuanPertama OperasiBiner 2. Jenis Operasi Biner 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 1. Definisi KeMateriKedua

  5. DefenisiUmum Misalkan Q adalahhimpunanbilanganRasional Untuksetiap a, b ∈ Q, berlaku : • (a + b) ∈ Q dan (b + a) ∈ Q • (a x b) ∈ Q dan (b x a) ∈ Q • (a – b) ∈ Q dan (b – a) ∈ Q Penjumlahan, perkalian, danpenguranganmerupakancontohdarioperasibinerpada Q

  6. Definisi 1 Jika S adalahsuatuhimpunan yang tidakkosongmakaoperasibinero (dibaca “bundaran”) pada S adalahsuatupemetaan (fungsi) yang mengawankansetiappasangan(a, b) ∈ S x S dengantepatsatuelemen (a o b) ∈ S.

  7. Contoh 1 A = {2, 4, 6, 8, …} yaituhimpunanbilanganasligenapdandipandangoperasi +, yaituoperasipenjumlahanseperti yang telahkitakenal. Maka + merupakanoperasibiner A, sebabjumlahsetiapduabilanganasligenapselalumerupakanbilanganasligenapdalam A

  8. Contoh 2 A = {1, 3, 5, 7, …} yaituhimpunanbilanganasliganjildandipandangoperasi -, yaituoperasipenguranganseperti yang telahkitakenal. Perhatikanbahwa 1 – 7 = -6 dan -6 ∉ B,maka – bukanmerupakanoperasibinerpada B, sebabadahasilpenguranganduaanggota B yang bukanmerupakananggota B.

  9. Contoh 3 Perhatikan S = {0, 1, 2, 3, 4} danpandangoperasi-operasipenjumlahandanpengurangan, makabaikpenjumlahanmaupunpenguranganbukanmerupakanoperasibinerpada S. CobaAndaJelaskan !

  10. Operasipadasuatuhimpunantidakhanyaoperasi-operasihitung yang sudahkitakenal, seperti : +, -, x, dan :, tetapidapatberupaapasajaasaldidefinisikandenganjelas. Misalnya : operasio Perhatikancontohberikut

  11. Contoh 4 Perhatikan S = {a, b, c, d, e} danoperasiopada Cdidefinisikansepertitabelberikut : d yang dilingkariadalahhasildari b oc, dandapatditulis b oc = d

  12. Apa yang dapatAndasimpulkandaricontohdiatas ? Kesimpulannya Bahwasetiap x, y ∈ C , maka (x o y) ∈ C. Sehinggaoperasi o pada C adalahsuatuoperasibiner. Dan operasibineropada S dinyatakansebagai “Himpunantertutupterhadapoperasio”. CobaAndasimpulkancontoh 1, 2, 3, dan 4 diatas

  13. Jenis-jenisOperasiBiner Perhatikan N = {1, 2, 3, 4, …} yaitubilanganasli. Maka, 3 + 4 = 4 + 3; 5 + 10 = 10 + 5 dsb. Secaraumum : Untuksetiap a, b ∈ N, maka a + b = b + a. Denganperkataan lain bahwaoperasibinerpenjumlahanpadabilangan-bilanganaslibersifatkomutatif

  14. Definisi 2 Suatuoperasibiner o padasuatuhimpunan S dikatakankomutatifbiladanhanyabilauntuksetiap x, y ∈ S, maka x o y = y o x. Dalamsimbollogikaditulis : Operasibineropada S, komutatifbiladanhanyabila ∀ x, y ∈ S, x o y = y o x

  15. Contoh 5 1. Apabila Q+adalahhimpunanbilanganrasionalpositif, makapenjumlahandanperkalianmasing-masingmerupakanoperasi-operasibiner yang komutatifpada Q+. Tetapipembagianpada Q+bukanmerupakanoperasibiner yang komutatif. CobaAndaperiksakebenaranpernyataan-pernyataantersebut ?

  16. 2. Padamasalahmatriks P adalahhimpunansemuamatriksbujursangkarberordo 2. Apakahperkalianmatrikspada P merupakanoperasi yang komutatif ? Misal : Maka …. ?!!

  17. Jenis-jenisOperasiBiner Perhatikan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} yaitubilanganbulat. Maka, (3 + 5) + (-2) = 3 + (5 + (-2)) (7 + (-2)) + (-4) = 7 + ((-2) + (-4)) dsb. Secaraumum : Untuksetiap x, y, z ∈ B, berlaku : (x + y) + z = x + (y + x) Hal inidikatakanbahwaoperasipenjumlahanpadahimpunanbilanganbulat B bersifatassosiatif

  18. Definisi 3 Suatuoperasibiner o padasuatuhimpunan S bersifatasosiatifbiladanhanyabilauntuksetiap x, y, z ∈ S, berlaku (x o y) o z = x o (y o z). Dengansimbollogikadituliskan : Operasibineropada S bersifatasosiatifbiladanhanyabila ∀ x, y, z ∈ S, (x o y) o z = x o (y o x)

  19. Contoh 6 • Padahimpunanbilanganasli, baikperkalianmaupunpenjumlahanbersifatasosiatif. Periksalahkebenarannya ! • Perhatikantabelcontoh 4 ! (b o c) o d = d o d = b b o (c o d) = b o a = b, dst. sehinggaoperasibineropada S = {a, b, c, d, e} yang didefinisikansepertipadatabelbersifatasosiatif.

  20. Perhatikan C = {0, 1, 2, 3, …} yaituhimpunanbilangancacah. Misal : 2 + 0 = 0 + 2 = 2 7 + 0 = 0 + 7 = 7 dst. Secaraumum Untuksetiap x ∈ C berlaku x + 0 = 0 + x = x. Dalamhalini 0 disebutelemenidentitas (elemennetral) dari C terhadappenjumlahan.

  21. Definisi 4 Suatuhimpunan S dikatakanmempunyaielemenidentitas (elemennetral) terhadapoperasibinerobiladanhanyabilaadaelemen u ∈ S sedemikianhinggauntuksetiap x ∈ S berlaku : x o u = u o x = x.

  22. Contoh 7 • B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Elemenidentitasdari B terhadappenjumlahanadalah 0, sedangkanelemenidentitasdari B terhadapperkalianadalah 1. CobaAndaperiksakebenarantersebut ! • Misalkan P adalahhimpunansemuamatriksbujursangkarberordo 2. Kita ketahuibahwa Makakesimpulannyadaricontohdiatas !

  23. Teorema Teorema 1 Jikahimpunan S terhadapoperasibiner o mempunyaielemenidentitasmakaelemenidentitasitutunggal Teorema 2 Misalkan o adalahsuatuoperasibinerpadahimpunan S. Jika x ∈ S mempunyaiinversterhadapoperasi o, makainversdari x tersebuttunggal

  24. Dari Teorema 1 Bukti Perhatikanhimpunanbilanganbulat B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0; (-5) + 5 = 5 + (-5) = 0 dsb. Kita telahmengetahuibahwa o adalahelemenidentitasdari B terhadappenjumlahan. Jikadiambilsembarang a ∈ B, makaada b ∈ B sehingga a + b = b + a = 0, yaitu b = -a. Makadikatakanbahwa b adalahinverspenjumlahandari a pada B.

  25. Definisi 5 Misalkanhimpunan S terhadapoperasibineromempunyaielemenidentitas u. Suatuelemen y ∈ S terhadapoperasibinerobiladanhanyabila x o y = y o x = u. Inversdari x terhadapsuatuoperasibinerditulis x-1 (dibaca “invers x”)

  26. Contoh 8 • Q adalahhimpunanbilanganrasional. Inverspenjumlahandari ½ adalah - ½. Sebab ½ + (- ½) = (- ½) + ½ = 0, dan 0 adalahelemenidentitas Q terhadappenjumlahan. Sedanginversperkaliandari ½ adalah 2, sebab 2 x ½ = ½ x 2 = 1 dan 1 adalahelemenidentitas Q terhadapperkalian. • Perhatikankembalicontoh 4, yaituoperasibiner o pada S yang didefinisikanmenuruttabel. S terhadapoperasibiner o mempunyaielemenidentitas a. Buktikan !

  27. Dari Teorema 2 Bukti Misalkaninversdari x ∈ S terhadapoperasibiner o adalah x1dan x2dengan x1 , x2 ∈ S, danmisalkanelemenidentitas S terhadapoperasibiner o adalah u. Karena x1adalahinversdari x maka x o x1 = x1 o x = u. Demikian pula, karena x2adalahinvers x maka x o x2 = x2 o x = u. Maka x1 = x2. Iniberartibahwainversdari x terhadapoperasibiner o adalahtunggal.

  28. Definisi 6 Misalkanoperasi-operasibiner∆dan o terdefinisikanpadasuatuhimpunan S. 1. Jikauntuksetiap x, y, z ∈ S berlaku x ∆ (y o z) = (x ∆ y) o (x ∆ z), makapada S berlakusifatdistributifkiri ∆ terhadap o 2. Jikauntuksetiap x, y, z ∈ S berlaku (y o z) ∆ = (y ∆ x) o (z ∆ x), makapada S berlakusifatdistributifkanan ∆ terhadap o.

  29. Contoh 9 • Misalkan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dandipandangoperasi penjumlahan seperti yang sudah kita kenal, sedang operasi ∆ pada B didefinisikan jika a, b ∈ B maka a ∆ b = a2 b. Ambil sembarang a, b, c ∈ B maka a ∆(b + c) = a2 (b + c) = a2 b + a2 c dan (a ∆ b) + (a ∆ c) = a2 b + a2 c Jadi a ∆(b + c) = (a ∆ b) + (a ∆ c). Maka pada B berlaku sifat distributif kiri ∆ terhadap penjumlahan.

  30. Sedangkan (a + b) ∆ c = (a + b)2 c = a2 c + 2abc + b2 c dan (a ∆ c) + (b ∆ c) = a2 c + b2 c. Maka (a + b) ∆ c ≠ (a ∆ c) + (b ∆ a). Iniberartibahwapada B tidakberlakusifatdistributifkananoperasi ∆ terhadappenjumlahan.

  31. 2. Misalkan M adalahhimpunansemuamatriksbujursangkarberordo 2, dandipandangoperasiperkaliandanpenjumlahanmatriks. Tunjukkandengancontoh Bahwa A (B + C) = AB + AC yaitusifatdistributifkiriperkalianterhadappenjumlahanmatriksdan (A + B) C = AC + BC, yaitusifatdistributifkananperkalianterhadappenjumlahanmatrikspada M.

  32. Latihan Soal 1 • Tunjukkandengantabelbahwaperkalianmerupakanoperasibinerpadahimpunan S = {1, -1, i, -i} dengani = √-1 • Tunjukkanbahwa S terhadapperkalian (a) bersifatkomutatif (b) bersifatasosiatif (c) mempunyaielemenidentitas, dan (d) setiapelemennyamempunyaiinvers.

  33. Latihan Soal 2 Perhatikantabelberikut yang merupakandefinisidarioperasi o padahimpunan S = {a, b, c, d} • Apakahomerupakanoperasibinerpada S? Jelaskan ! • Apakah o pada S bersifatkomutatif ? Jelaskan ! • Apakah o pada S bersifatasosiatif ? Jelaskan ! • Apakah S terhadapoperasi o mempunyaielemenidentitas ? Apakahjugamempunyaiinvers !

  34. Latihan Soal 3 Perhatikantabelberikut yang merupakandefinisidarioperasi ∆ padahimpunan S = {a, b, c, d} • Apakah∆ merupakanoperasibinerpada S? Jelaskan ! • Apakah ∆ pada S bersifatkomutatif ? Jelaskan ! • Apakah ∆ pada S bersifatasosiatif ? Jelaskan ! • Apakah S terhadapoperasi ∆ mempunyaielemenidentitas ? Apakahjugamempunyaiinvers !

  35. Latihan Soal 4 Perhatikantabelsoal no. 2 dantabelsoal no. 3, benaratausalahpernyataan-pernyataanberikut ! (a) a o (d ∆ c) = (a o d) ∆ (a o c) (b) (d ∆ c) o a = (d o a) ∆ (c o a) (c) d ∆ (c o b) = (d ∆ c) o (d ∆ b), dan (d) (c o b) ∆ d = (c ∆ d) o (b ∆ d)

  36. Thank You ! SelamatBelajar

More Related