Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – dosazovací metoda

1. Název projektu: Moderní škola Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – dosazovací metoda Mgr. Martin Krajíc 17.4.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých - úvod Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (budeme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, později soustavu tří rovnic o třech neznámých). ax + by = c dx + ey = f x,y jsou neznámé a, b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla

3. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých - metody Soustavy rovnic řešíme různými metodami: • metodou dosazovací • metodou sčítací • metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací • metodou grafickou • pomocí matic, resp. determinantu

4. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – dosazovací metoda Postup řešení: • rovnice vyjádříme v základním tvaru (na levé straně máme členy s neznámými – abecedně, na pravé straně číselné členy • z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou • vyjádřenou neznámou dosadíme do druhé rovnice soustavy • řešíme jednu rovnici o jedné neznámé • dosazením do vyjádření dopočítáme druhou neznámou • provedeme zkoušku a zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí Poznámka: Metoda dosazovací je vhodná, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek, zlomku a následném sloučení členů) je aspoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo -1.

5. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – dosazovací metoda Pro lepší úhlednost oddělujeme vždy soustavu podtržením. Př: Řešte soustavu rovnic x + y = 3 x - y = -1 • z první rovnice si vyjádříme neznámou x: x = 3 – y • dosadíme za ni do druhé rovnice: (3 - y) - y = -1 • nyní již řešíme jednoduchou rovnici: 3 - y - y = -1 -2y = -4 y = 2 • dopočítáme neznámou x dosazením: x = 3 – 2 x = 1 • výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2] • zkoušku provedeme dosazením výsledku do obou rovnic

6. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – dosazovací metoda Př: Řešte soustavu rovnic 2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 17 3 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7 2x + 2y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 21x + 35y = 7 7x - 3y = 17 24x + 41y = 7 z první rovnice si vyjádříme neznámou x: x = dosadíme do druhé rovnice: 24. + 41y = 7 / .7 408 + 72y + 287y = 49 359y = -359 / :359 y = -1 dopočítáme druhou neznámou: : x == 2 výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1]

7. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – dosazovací metoda Př: Řešte soustavu rovnic x - y = 1 3x - 3y = 3 z první rovnice si vyjádříme neznámou x: x = 1 + y dosadíme do druhé rovnice: 3 . (1 + y) - 3y = 3 3 + 3y - 3y = 3 0 = 0 Výsledek: za jednu z neznámých si zvolíme parametr t a druhou vyjádříme z jedné ze zadaných rovnic. x = t, y = t – 1 Z a p í š e m e : [x ; y] = [t ; t – 1] , t ɛ R Soustava má nekonečně mnoho řešení.

8. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – příklady Př: Řešte soustavy rovnic a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Charles Aznavour: „Matematicky vzato je polibek to, co dostaneme, když dotek rtů dělíme ……….“. 1) 2x + y – 5 = 0 a) T = [1; 2] 3x – y = 0 b) D = [1; 3] 2) 2x + 3y = 8 a) Ř = nemá řešení 4 – x = 1,5y b) V = nekonečně mnoho řešení

9. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – příklady 3) (x + 1)2+ (y + 1)2+ 10 = x.(x + 6) + y.(y + 6) (x + 1)2+ (y + 1)2+ 8 = x.(x - 6) + y.(y - 6) a) Ě = [1; 2], b) E = [2; 1] 4) = a) T = [1; 1] y – x = 1 – 3(2x + y) b) M = [1; -1] 5) (x + 5)(y – 2) = (x + 2)(y – 1) a) Í = [2; 1] (x – 4)(y + 7) = (x – 3)(y + 4) b) A = [7; 5]

10. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – správné řešení Charles Aznavour: „Matematicky vzato je polibek to, co dostaneme, když dotek rtů dělíme ………….“. DVĚMA

11. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – použité zdroje Použité zdroje: OZOGÁN, Michal. Citáty slavných. [online]. [cit. 2013-04-17]. Dostupné z: http://citaty.fabulator.cz/autor/charles-aznavour