Fördelning på olika energinivåer

1. Fördelning på olika energinivåer Vi anta vi har 2 energinivåer i ett system, kopplad till en värmereservoar med inre energi U. 2 atomer kan fördela sig på dessa nivåer. Låg energi, låg entropi Hög energi, hög entropi Värme- reservoar Värme- reservoar E E Hur troliga är dessa fördelningar ?

2. Fördelning av en atom på olika energinivåer För ökningen a v system- energin E måste U av reservoaren sjunker. N ändras inte 0 vid konstant volym

3. Hur stor är Z ? Boltzmann-fördelningen Z kallastillståndssumma (“Zustandssumme”)

4. I fallet av flera tillstånd på samma energinivå (degenererat system) E E Troligheten att hamna i högre energitillståndet blir högre med en faktor 3 g = Grad av degeneration

5. Stora tillståndssumman Förhållande av troligheterna att finna en partikel i tillstand 1 och 2 är : Om antalet av partikler i systemet ändras, gäller: vid konstant volym

6. Analog till förut: Stora tillståndssumman “Gibbs-faktor”

7. Genomsnittliga energin av ett system När antalet av partikler är konstant: …ett enkelt sätt att beräkna genomsnittliga energin från Z

8. Medelvärde för ett vilkorligt egenskap Vid konstant N Vid variabel N

9. Genomsnittliga antalet partikler i ett öppet system När antalet av partikler är inte konstant änvänds stora tillståndssumman: g=1 vid alla energinivåer

10. parallel utriktning antiparallel utriktning B E = mB E = -mB Exempel: paramagnetism Vi antar 1 paramagnet i ett fält. Det finns 2 olika tillstand, 1 med parallel och 1 med antiparallel utriktning. = =

11. Frihetsgrader i en molekyl konstant x storlek2 När bcq2 är liten För varje frihetsgrad är genomsnittliga energin kT/2.

12. Obs! Det gäller bara när bcq2 är liten, så kT>>cq2 Vidtranslations- energinär det generellt fallet. Vid rotations- och vibrationsenergin är det oftast inte så hos låga T. Det är inte längre möjligt att lagra energin i dessa frihetsgrader. Frihetsgraden “fryser ut”. Molara värmekapacitet av H2

13. Tillståndssumma med flera atomer Om man antar 2olika partklar som inte interagera med varandra så har man för varje tillstånd av partikel gäller för tillståndssumman: I fallet av tvålikapartiklar är det ingen skillnad om partikel 1 har tillstånd A oh partikel 2 har tillstand B eller tvärtom. Därför gäller: För N lika partiklar får man:

14. Bose-Einstein och Fermi-Dirac statistiken Vi anta att vi ha 9 tillstånd och 6 partikler (för alla g(En) =1): Alla tillstånd få ta upp hur många partikler som helst Varje tillstånd få ta upp max 1 partikel Bose-Einstein statistik Fermi-Dirac statistik

15. Vi betraktar 1 tillstånd som system i en Fermi-Dirac fördelning. Troligheten att der finns n partikler i den: vid g=1 Det finns bara n = 0, 1 Medelvärde beräknas som följer: n = 0, 1

16. Vid Bose-Einstein fördelning: Vid 0<t<<1 blir det

17. Dessvidare gäller för tillståndssumman

18. =

19. Jämnförelse av Bose-Einstein och Fermi-Diracstatistiken -För partikler medhalvtalig spin. - Vidhög eblir värdet0 - Vid mycketlågt eblir värdet1 - För partikler med heltalig spin - Vidhög eblir värdet0 -Vide ~ mgar värdetmotoändligt Vid ett mycket lågt m och tillräcklig e : Maxwell-Boltzmann-statistiken

20. Grafiskt bild Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac