ec. diferenciales

1. ECUACIONES DIFERENCIALES Definición: toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina ecuación diferencial. Ejemplos: dy x     x 2 y e dx 2 d y dy 3       2 y x 4 2 dx dx 2           2 u u   u                 0               2 x y x CLASIFICACIÓN DIFERENCIALES: Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad. DE ECUACIONES

2. De acuerdo al tipo: i.Ecuaciones diferenciales ordinarias Si una ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplos: dy     2  xy x 3 2 dx ) 3       y 3         x y dx d x dy y dy ( 2 2 ( ) 1 0 3     y x y 3 dx dz dx dy     3 2 0 dx dx

3. ii.Ecuaciones diferenciales parciales Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial parcial. Ejemplos: 2           x y x u x                           u u u           u             3 0     y           2 3 u                               x xyz 3     2 x y z y

4. Clasificación de acuerdo al orden: Definición del orden de una ecuación diferencial: El orden de una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. i.Ecuaciones diferenciales de Primer Orden: dy     2  xy x 3 2 dx ) 3       dy       x y dx x y dy ( 2 2 ( ) 1 0   x 3   y 0 dx ii.Ecuaciones de diferenciales Segundo Orden: 2 ´´ 3 xy   ´     y y       Sen x 4 ( )         2     u u u                 y     3 y 0     x     ´     2 y 3 x y y ´´ 0 iii.Ecuaciones diferenciales de Tercer Orden u x                         2 3 u 2 u                                 xyz 3       x x y z y

5. 3 d y 3 dy       y x y 3 dx 4 dx 5           x 2 2 ´´´ y y y e x 2 ´´ 3 1 iv.Ecuaciones diferenciales de Orden Superior     3   y Clasificación de acuerdo a la linealidad: Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden expresarse de la siguiente forma: (*)     ( .... ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 n   Si f(x)=0, la ecuación diferencial lineal es homogénea. Si f(x)≠0, la ecuación diferencial lineal es no homogénea. Si n i x ai ,..., 2 , 1 , 0 ), (   son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal es de coeficientes variables.     3 y       4 y x 5 2 ) 1               n n ( a x y x a x y x a x ´´( y x a x y x a x y x f x ) ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) n 1 0

6.     er 1 ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) orden a x y x a  x y x f x 1 0 a     do 2 ( ) ´´( y ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) orden a x x x y x a x y x f x 2 1 0 a       er 3 ( ) ´´´( y ) ( ) ´´( y ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) orden a x x a x x x y x a x y x f x 3 2 1 0 En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades: i.La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er grado. ii.Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x. iii.Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama ecuación no lineal. dy x     x 2 sen x y e ( ) dx 2 d y dy         2 2 x x y x x 2 cos( ) 2 dx dx   ´     ´´´ y y y x 2 4 ln( ) Ecuaciones diferenciales no lineales:

7. dy   x xy e 4 dx dy     y 3 dx 2 d y dy     sen y 3 ( ) 2 dx dx dy   xy e 1 dx Solución de una ecuación diferencial ordinaria Definición: Cualquier función  definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo I. Solución Explícita: n d y (   n   ) 1 f x y ´,..., y y ( , , ) Se denomina solución explícita de un intervalo I a toda función  que al sustituirse por y en n dx

8. (y=(x)) en la ecuación diferencial la satisface para cualquier valor de x del intervalo I. Ejemplo: x   ) (   Al comprobar que la función  satisface la ecuación diferencial dada, se concluye que explícita de la ecuación diferencial dada x e Sea y´´-3y´+2y=0 donde     x   ) x es solución e (