Aplikasi Diferensial Pertemuan 17

1. Aplikasi DiferensialPertemuan 17 Matakuliah : J0174/Matematika I Tahun : 2008

2. Aplikasi Diferensial Parsial dalam Ekonomi dan Bisnis • Pendekatan diferensial parsial sangat berguna untuk diterapkan dalam model-model ekonomi. Kejadian-kejadian ekonomi seperti produksi, konsumsi, permintaan dan penawaran, pendapatan nasional dan sebagainya terwujud bukan hanya pengaruh dari satu variabel saja. • Berikut ini diberikan contoh analisis sederhana penggunaan diferensial parsial dalam variabel ekonomi. Pembahasan meliputi biaya marjinal, permintaan, elastisitas dan produksi.

3. Biaya Marjinal (1) • Bila suatu perusahaan memproduksi dua macam barang misalnya x dan y, maka biaya produksi yang wujud adalah tergantung berapa banyak x dan y yang diproduksi. C dinyatakan sebagai biaya total untuk memproduksi x dan y sehingga • C = f ( x, y) • maka derivatif parsial dari fungsi biaya C adalah biaya marjinal masing-masing produk. • Cx merupakan biaya marjinal produk x = M Cx = dC/dx • Cy merupakan biaya marjinal produk y = M Cy = dC/dy

4. Biaya Marjinal (2) Contoh Biaya Gabungan untuk menghasilkan sepatu dan tas oleh debuah perusahaan adalah C = x2 ln (y + 10) Maka MCx = dC/dx = 2x ln (y + 10) , biaya marjinal produk x MCy =dC/dy = x2 / y +10, biaya marjinal produk y Latihan Coba buat fungsi biaya marjinal dari fungsi biaya : C = ex + ey + xy + 5

5. Permintaan Marjinal dan Elastisitas (1) Permintaan Marjinal Permintaan suatu barang tidak hanya dipengaruhi oleh harga dari barang yang bersangkutan. Ada faktor lain seperti barang lain sebagai komplemen atau subtitutornya, selera, pendapatan dan lain-lain. Dalam pembahasan kali ini kita melihat fungsi permintaan suatu barang yang dipengaruhi oleh harga barang yang bersangkutan dan harga barang lain sebagai komplemen atau subtitutornya. Barang berhubungan secara komplemen artinya penggunaan kedua barang dilakukan secara bersamaan. Penggunaan satu barang harus diiringi oleh barang komplemennya. Sedangkan jika barang berhubungan secara substitusi maka fungsi kedua barang saling menggantikan.

6. Permintaan Marjinal dan Elastisitas (2) Andaikan fungsi permintaan dari dua jenis barang dinyatakan sebagai: x = f(px, py) dan y =(py , px) px menyatakan harga barang x dan py menunjukkan harga barang y Derifatif parsial dari x dan y menyatakan fungsi permintaan marjinal: dx/dpx menyatakan permintaan marginal x thd harganya dx/dpy menyatakan permintaan marginal x terhadap harga barang y dy/dpy menyatakan permintaan marginal y thd harganya dy/dpx menyatakan permintaan marginal y terhadap harga barang x

7. Permintaan Marjinal dan Elastisitas (3) • Jika harga barang y turun menyebabkan kenaikan permintaan barang x dan sebaliknya maka kedua barang berhubungan secara komplementer. Dan jika harga barang x naik menyebabkan kenaikan permintaan permintaan barang y dan sebaliknya maka hubungan x dan y adalah substitusi. • Hubungan kedua barang dalam dilihat dari tanda positip dan negatifnya. Negatif jika berkomplementer dan positip jika bersubstitusi. • Dari permintaan marjinal dapat terus digunakan untuk menghitung elastisitasnya. Elastisitas yang menghitung hubungan dua barang dinyatakan dengan elastisitas silang. • Selain elastisitas silang dapat pula dihitung berbagai elastisitas yang lain. Fungsi permintaan yang dibuat variabel bebasnya harus terdiri dari beberapa variabel yang mempengaruhi fungsi permintaan tersebut, seperti pendapatan konsumen, selera konsumen dan periklanan dan sebagainya.

8. Permintaan Marjinal dan Elastisitas (4) Elastisitas Silang Misal diketahui fungsi permintaan : Qx = a - bPx + cPy + mI Qx menunjukkan permintaan barang x Px = harga barang x Py = harga barang y I = pendapatan konsumen Elastisitas silang barang x terhadap barang y Permintaan marginal d Qx / dPy = c maka Elastisitas silang exy = dQx/ dPy .Py / Qx = c . Py / Qx Elastisita bertanda positip artinya y merupakan barang substitusi x Elastisitas pendapatan: Permintaan marginal thd pendapatan = dQx/ dI = m maka Elastisitas pendapatan ei= dQx/ dI . I/ Qx

9. Permintaan Marjinal dan Elastisitas (5) Contoh Permintaan daging sapi ditunjukkan oleh persamaan Qb = 4850 - 5 Pb + 1,5 Pn + 0,1 I Qb = Jumlah daging sapi, Pb harga daging sapi = 200, Pn harga daging kambing =100 dan Y pendapatan konsumen = 10 000 ( Jumlah barang dalam unit, harga dan pendapatan dalam satuan uang). Dengan harga daging sapi 200, daging kambing 100 dan pendapatan 10000 satuan uang maka permintaan daging sapi 5000 unit. Permintaa marjinal daging sapi thd daging kambing dQb / dPn = 1,5 maka Elastisitas silang daging sapi terhadap daging kambing ebn = dQb/ dPn .Pn / Qb = 1,5 . 100/5000 = 0,03 -> Inelastis Dengan Elastisitas sebesar 0,03 jika harga daging kambing turun sebesar 10 % maka kuntitas daging sapi yang diminta naik sebesar 0,3 %.

10. Permintaan Marjinal dan Elastisitas (6) Elastisitas pendapatan konsumen terhadap permintaan daging sapi Permintaan marjinal pendapatan dQb/ dI = 0,1 maka Elastisitas pendapatan ei = dQb/ dI.I/ Qb = 0,1 . 10000/5000 = 0,2 Inelastis Jika pendapatn konsumen berubah sebanyak 10 % maka kuantitas daging sapi yang diminta berubah sebanyak 2%.

11. Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (1) • Fungsi produksi untuk kebanyakan produk memerlukan sedikitnya dua faktor produksi atau input seperti tenaga kerja , modal, bahan baku dan alat-alat berat seperti mesin-mewsin. Suatu produk Z jika diproduksi dengan menggunakan input K dan L secara serentak maka fungsi produksi dinyatakan Z = f (K,L). • Produk Marjinal • Berkaitan dengan penggunaan input, maka produktivitas marjinal dari setiap input menyatakan tingkat pertambahan dari produk total bila terjadi kenaikan penggunaan masing-masing input. Penghitungan produktivitas marjinal dari input yang dihitung diasumsikan bahwa penggunaan input yang lain tetap. Produktivitas marjinal biasanya positif untuk suatu rentang penggunaan input cukup besar. Jika penggunaan input bertambah sementara input lain tetap, maka output juga bertambah.

12. Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (2 Tetapi bila input terus bertambah sementara input lain tetap output biasanya bertambah dengan tingkat yang semakin menurun sampai suatu titik dimana tidak terjadi lagi pertambahan output. (hukum menurunnya produktivitas marjinal). Fungsi Produksi Z = f(K , L) maka Produktivitas marjinal: dZ/ dK = MPk Produk marjinal Z atas input K dZ/ dL = MPl Produk marjinal Z atas input L Contoh Fungsi Produksi Z = 6K5/8 L3/8 maka produk marjinal Z terhadap input K adalah dZ/ dK = 5/8 . 6 K -3/8 L3/8 = 30/8K -3/8 L3/8 produk marjinal Z terhadap input K adalah dZ/ dK = 3/8 . 6 K 5/8 L-5/8 = 18/8K 5/8 L-5/8

13. Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (3) Keseimbangan Produksi Keseimbangan produksi adalah keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum. Keadaan ini dicapai dengan syarat: dZ/ dK Pk ------- = ----- dZ/ dL Pl M Pk Pk ------- = ----- atau M Pl Pl M Pk MPl --------= ------ Pk Pl

14. Produk Marjinal dan Keseimbangan Produksi (4) Latihan Hitung Marjinal Produk jika Persamaan Fungsi Produksi Q = Z = 12K1/2L3/2 pada tingkat penggunaan K sebesar 500 unit dan L 30 unit . Jika harga K 25 satuan uang dan L 10 satuan uang bagaimana bentuk persamaan produksi dalam keseimbangan produksi.