IMPULS I KOLIČINA GIBANJA

1. IMPULS I KOLIČINA GIBANJA • Princip metode energija-rad korisna je za određivanje promjene brzine čestice za vrijeme zadanog pomaka. • Ukoliko je potrebno odrediti promjenu brzine čestice za vrijeme zadnog vremenskog intervala, tada princip impulsa i količine gibanja (momentuma) daje praktično značenje analize. • Impuls sile je dinamička veličina koja opisuje djelovanje sile na česticu tijekom vremena. • Elementarni impuls sile definira se kao produkt sile F i elementarnog intervala vremena dt

2. Integriranjem ovog izraza unutar nekog intervala vremena (t1− t2), slijedi impuls sile I: • Impuls sile je vektor. Ako je F=konst. , vektor impulsa ima pravac i smjer vektora sile.Jedinica za impuls sile je [Ns]. • Vektorsku jednadžbu za impuls sile moguće je riješiti bez poznavanja zakona gibanja čestice samo ako je sila ovisna o vremenu, tj.: • Vektor impulsa sile prikazuje se pomoću komponenata u nekom koordinatnom sustavu.

3. Impuls sile u npr. Descartesov koordinatnom sustavu jednak je trima skalarnim jednadžbama: gdje su Fx,Fy i Fz komponente sile F.

4. Za opisivanje gibanja čestice čija je brzina poznata, koristi se dinamička veličina nazvana količina gibanja (momentum). • Količina gibanja p predstavlja produkt mase m i brzine v čestice, tj. • Količina gibanja je vektor, pravca i smjera kao i vektor brzine.

5. Deriviranjem izraza za vektor količine gibanja po vremenu, slijedi: • To je opći oblik Newtonovog II zakona. Dakle, derivacija vektora količine gibanja po vremenu, jednaka je vektoru sile koja izaziva to gibanje (sila je jednaka stopi promjene količine gibanja).

6. Množenjem izraza s dt i integriranjem unutar razmatranog intervala vremena (t1 − t2), dobije se: • Ovo je zakon količine gibanja (impulsa). On pokazuje da je promjena količine gibanja čestice u nekom intervalu vremena, jednaka impulsu sile koja djeluje na česticu u istom intervalu vremena. Impuls sile jednak je promjeni količine gibanja tijela na koje djeluje ta sila.

7. Zakon količine gibanja npr. u Descartesovom koordinatnom sustavu jednak je trima skalarnim jednadžbama: • Očigledno je da bez impulsa sile nema promjene brzine. Prema tome, ako je I = 0, tada vrijedi: • Taj izraz predstavlja zakon (princip) održanja količine gibanja.

8. MOMENT KOLIČINE GIBANJA • Neka na čestica mase m, koja se giba uzduž krivulje u prostoru, djeluje sila F. Čestica se nalazi u položaju određen vektorom položaja r u odnosu na ishodište O koordinatnog sustava x, y, z. • Analogno statičkom momentu sile za točku MOu dinamici se definira veličina koja se naziva moment količine gibanja (ili kinetički moment, momentum) za točku LO. • Vektor toga momenta za neku točku O, jednak je vektorskom (ex) produktu vektora položaja ri vektora količine gibanja pčestice, tj.:

9. Vektor LOokomit je na ravninu u kojoj leže vektori rip(međusobno zatvaraju kut α ). • Veličina vektora momenta količine gibanja čestice za točku O u skalarnom obliku je: a smjer mu je definiran je pravilom desne ruke. • Jedinica momenta količine gibanja je [kgm2s-1= Nms]. • Kako je količina gibanja pogodna za opisivanje translacije čestice, tako je moment količine gibanja pogodan za opisivanje njene rotacije.

10. Deriviranjem izraza za moment količine gibanja za točku O, slijedi: • Član vxmv je jednak nuli pošto je umnožak paralelnih vektora jednak nuli. Stoga je: • To je zakon momenta količine gibanja. Iskazan riječima on glasi: Derivacija momenta količine gibanja čestice po vremenu za neku točku, jednaka je momentu sile koja djeluje na česticu za istu točku. Rezultantni moment oko točke O svih sila koje djeluju na česticu jednak je derivaciji momentuma oko točke O.

11. Izraz za zakon momenta količine gibanja vrijedi i za bilo koju os koja prolazi kroz točku O. Tako npr. za os x, y i z, zapis ovog zakona glasi: • U posebnom slučaju kada je MO= 0 (nema momenta vanjskih sila za točku O), vrijedi: • To se događa ako je sila F = 0, odnosno kada se čestica giba jednoliko pravocrtnoili ako vektori r i F leže na istom pravcu. Drugi slučaj jest kada sila Ftijekom gibanja uvijek prolazi kroz nepomičnu točku O (tzv. centralno gibanje). • Ovaj izraz predstavlja zakon (princip) održanja momenta količine gibanja.

12. Kako bi se dobio utjecaj momenta na moment količine gibanja čestice tijekom određenog intervala vremena potrebno je integrirati izraz za zakon momenta količine gibanja u vremenu t1 do t2 kako slijedi: gdje je (L0)2=r2·m·v2 i (L0)1=r1·m·v1. Kod rotacije čestice, umnožak momenta i vremena je određen kao impuls. • Ovaj princip impulsa i momenta količine gibanja kaže kako je ukupni impuls na česticu mase m koja se rotacijski giba oko točke O jednak odgovarajućoj promjeni momenta količine gibanja oko točke O.

13. Princip impulsa i količine gibanja kod rotacije čestice tijekom vremenskog intervala t1 do t2 po osima x, y , z dat je izrazima: • Kada je MO= 0 (nema momenta vanjskih sila za točku O), vrijedi:princip impulsa i količine gibanja kod rotacije čestice oko točke O tijekom vremenskog intervala t1 do t2 dat je izrazom: • koji predstavlja princip očuvanja momenta količine gibanja.

14. DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA • Sustav čestica je skup međusobno povezanih čestica kod kojih gibanje pojedine čestice ovisi o gibanju svih ostalih čestica. Na svaku česticu mogu djelovati sile, kao posljedica djelovanja drugih tijela izvan promatranog sustava. Te su sile za promatrani sustav vanjske. Na svaku od n čestica sustava može djelovati jedna takva vanjska sila Fi kao rezultanta djelovanja drugih tijela na tu česticu.

15. Prema principu izolacije svaku česticu možemo osloboditi veza s drugim česticama iz sustava. • Oslobađanjem čestice mase mipojedinih veza zamišljamo da na česticu umjesto veze djeluje sila ovisna o karakteru veze.

16. Unutar sustava može svaka čestica biti povezana sa svim ostalim česticama pa takvih veza može biti n-1. • Oslobađanjem čestice miveze koja je povezuje sa česticom mj dobiva se sila Sijkao djelovanje čestice mjna česticu mi. • Sile koje djeluju na česticu kao posljedica tih veza su unutarnje, koje su zajedno s rezultantnom vanjskom silom Fi mjerodavne za gibanje čestice mi.

17. Veze u sustavu čestica mogu biti krute, elastične i kinematske. • Kada su sve veze krute, sustav čestica se ponaša kao kruto tijelo. • Elastičnevezeovise o međusobnom položaju čestica (npr. veza pomoću opruge). • Kinematskevezeuvjetuju određeno gibanje jedne čestice u odnosu na drugu.

18. Bez obzira na vrstu veze, unutarnje sile se prema III Newtonovom zakonu javljaju u parovima, tako da je sila Sij na česticu mase mi, koja je posljedica veze s česticom mj, jednaka i suprotno usmjerena sili Sjina česticu mjod veze s česticom mi: • Za cijeli sustav tada vrijedi da je suma svih unutarnjih sila jednaka 0: • a također i zbroj momenata unutarnjih sila prema nekoj točki O jednak je nuli:

19. Parovi unutarnjih sila i parovi momenata unutarnjih sila prema istoj točki međusobno se poništavaju. • Za idealno krute veze bit će rad sile Sijjednak po iznosu i suprotnog predznaka radu unutarnje sile Sji, dok jer rad unutarnjih sila koje potječu od veza s otporima (npr. prigušenja) uvijek negativan. • Svaka čestica u sustavu može imati 3 stupnja slobode gibanja, pa za sustav od n čestica ukupan broj stupnjeva slobode iznosi 3n. • Kinematske veze smanjuju broj stupnjeva slobode sustava, a između pojedinih koordinata postoje jednadžbe veze.

20. Osnovni zakoni sustava čestica 1. Jednađžba gibanja • Za svaku česticu u sustavu može se napisati jednadžba gibanja u kojoj je rezultanta svih sila koje djeluju na česticu (vanjske i unutrašnje) jednaka umnošku mase i ubrzanja. Za i-tu česticu mase mi, kojoj je ubrzanje ai druga derivacija vektora položaja r ta jednadžba u skalarnom obliku glasi: • a za sve čestice zbrojene zajedno

21. 2. Zakon centra mase sustava čestica • Centar masa sustava giba kao čestica ukupne mase pod djelovanjem rezultantne sile svih vanjskih sila. • Iz statike je poznato da se centar masa, koji je u tehničkim problemima istovjetan s težištem; izračunava pomoću izraza: • Pomoću tog zakona moguće je promatrati gibanje sustava kao cjeline bez određivanja gibanja pojedinih čestica. Rezultantna sila R ne mora prolaziti kroz centar C.

22. 3. Zakon kinetičke energije • Razlika ukupne kinetičke energije sustava na kraju perioda gibanja (2) i na početku jednaka je radu svih vanjskih i unutrašnjih sila sustava: Kinetička energija i-čestice: Ukupna kinetička energija sustava čestica:

23. 4. Zakon o održanju mehaničke energije • Zakon o održanja mehaničke energije u općem obliku glasi jednako kao i kod čestice: • Potencijalna energija suma je potencijalnih energija svih konzervativnih sila u sustavu bez obzira na to jesu li vanjske ili unutrašnje. U slučaju da su neke od sila nekonzervativne, npr. sila trenja, primjenjuje se isti izraz kao i kod čestice: pri čemu je rad nekonzervatinlih sila WTsuma radova nekonzervativnih sila u sustavu kako vanjskih tako iunutrašnjih.

24. 5. Zakon količine gibanja. • U ukupnom impulsu dolaze samo vanjske sile budući da je impuls svih unutrašnjih sila sustava jednak nuli. • Količina gibanja i-čestice: • Zakon količine gibanja za i-česticu: • Vektorska suma količina gibanja svih čestica daje količinu gibanja sustava u skalarnom obliku:

25. Derivacija količine gibanja cijelog sustava jednaka je rezultantnoj sili svih vanjskih sila. To je drugi oblik zakona o gibanju centra masa sustava čestica 6. Zakon održanja količine gibanja. • Kada je impuls vanjskih sila cijelog sustava jednak nuli (npr. nema vanjskih sila), pojedine čestice mogu promijeniti brzine, ali samo tako da ukupna količina gibanja ostaje nepromijenjena.

26. 7. Zakon momenta količine gibanja. • Derivacija kinetičkog momenta sustava po vremenu jednaka momentu svih vanjskih sila s obzirom na točku O. 8. Zakon (princip) o održanju momenta količine gibanja. • U slučaju kada je suma momenata vanjskih sila prema točki O jednaka nuli, kinetički moment u sustavu ostaje tokom vremena nepromijenjen, tako da je:

27. 9. Princip impulsa i momenta količine gibanja:

28. PRIMJER: • Dva bloka povezana užetom, zanemarive mase, otpuštaju se iz stanja mirovanja. Masa bloka A je 40 kg, a bloka B 30 kg. Koeficijent trenja klizanja između podloge i bloka A je 0,15. Konop klizi preko glatke koloture čija se težina zanemaruje. Koja je njihova brzina kada se pomaknu za 0,4 m? Zadatak je potrebno riješiti na dva načina i to: a) razmatranjem svakog bloka kao zasebne čestice, b) razmatranjem oba bloka kao jednog sustava. Poznato: mA=40 kg, mB=30 kg v1=0 m/s, s=0,4 m, μ=0,15 mm, α=20°.

29. Ukoliko se svaki blok oslobodi veza i razmatra kao zasebna čestica, potrebno je nacrtati dva plana slobodnog tijela. Pri tome je potrebno paziti kako se za obje čestice mora pretpostaviti pozitivan smjer sila u smjeru gibanja po obje osi. • Premaplanuslobodnogtijelazaobabloka, sila u užetu je S=SAB=-SBA. Budući da sublokovi A i B vezaniužetomkonstantnedužine, ova kinematska veza (ograničenje) uvjetuju da se blokovi gibaju istom brzinom. • Pošto se tražibrzina, primijenitiće se zakonkinetičkeenergije (metodaenergija-rad). Silekojevrše rad kodblokaAsusila u užetuS, komponentatežinepoosix isilatrenja S. U tom slučajuzakonkinetičkeenergije, tj. rad kojimijenjakinetičkuenergijublokaAmože se napisatikao:

30. Ukoliko se svaki blok oslobodi veza i razmatra kao zasebna čestica, potrebno je nacrtati dva plana slobodnog tijela. Pri tome je potrebno paziti kako se za obje čestice mora pretpostaviti pozitivan smjer sila u smjeru gibanja po obje osi. • Premaplanuslobodnogtijelazaobabloka, sila u užetu je S=SAB=-SBA. Budući da sublokovi A i B vezaniužetomkonstantnedužine, ova kinematska veza (ograničenje) uvjetuju da se blokovi gibaju istom brzinom. • Pošto se tražibrzina, primijenitiće se zakonkinetičkeenergije (metodaenergija-rad). Silekojevrše rad kodblokaAsusila u užetuS, komponentatežinepoosix isilatrenja S. U tom slučajuzakonkinetičkeenergije, tj. rad kojimijenjakinetičkuenergijublokaAmože se napisatikao:

31. Pošto se tražibrzina, primijenitiće se zakonkinetičkeenergije (metodaenergija-rad). Silekojevrše rad kodblokaAsusila u užetuS, komponentatežinepoosix isilatrenja S. U tom slučajuzakonkinetičkeenergije, tj. rad kojimijenjakinetičkuenergijublokaAmože se napisatikao:

32. Sile koje vrše rad kod bloka B su sila u užetu S i težina GB.Stoga rad koji mijenja kinetičku energiju bloka B je:

33. Jednadžbe zakona kinetičke energije za blok A i B čine sustav jednadžbi od dvije s dvije nepoznanice i to S i v2. Zbrajanjem ovih dviju jednadžbi, radi eliminacije sile užeta S (suprotnog predznaka) može se izračunati brzina v2:

34. b) Kadase obablokarazmatrajukaojedansustav, sila u užetupostajeunutrašnjasila, pa se stoga ne uzima u obzir. U tom slučajusvakiblok (čestica) imaistipomak, pa je rad unutrašnjihsilajednakalisuprotnikolinearni par istoga se ne razmatra. Reakcije u ležajukolutore ne vrše rad (nemapomaka).

35. Sukladno tome može se napisatizakonkinetičkeenergijezacijelisustavkao:

36. Ukoliko je potrebno izračunati silu u užetu S, tada je potrebno primijeniti II Newtonov zakon. Budući da sublokovi A i B vezaniužetomkonstantnedužine, ova kinematska veza (ograničenje) uvjetuju da se blokovi imaju isto ubrzanje aA=aB=a. • U odabranom koordinatnom sustavu xy, jednadžbe gibanja za blok A iz čega slijedi što daje

37. U odabranom koordinatnom sustavu xy, prema jednadžbe gibanja za blok B glase: • Jednadžbe: imaju dvije nepoznanice i to S i a. Supstitucijom za a u drugoj jednadžbi dobiva se: što uvrštavanjem u prvu Jednadžbu daje:

38. Izračunom sile u užetu, S ubrzanje je: • Uz poznatu ubrzanje može se izračunati brzina u trenutku 0,4 s pomoću izraza:

39. PRIMJER: Opruga, nedeformiranedužine 60 cm, spajadvablokamase 2 kg i 3 kg. U stanjumirovanjaopruga je stisnutaza 20 cm. Ukolikose sustavotpustiizstanjamirovanja, kojaćebitibrzinasvakogblokakadaoprugapostignesvojunormalnuduljinu. Oprugaimakrutost od 12 N/m. Trenjepodloge se zanemaruje. Poznato:mA=2 kg, mB=3 kg, v1=0 m/s, l=0,6 m, x1=0,2 m, c=12 N/m.

40. Pošto ista elastična sila opruge djeluje na oba bloka, ali u suprotnom smjeru, ukupni impuls na sustav obiju masa je jednak nuli. • Stoga, količina gibanja dviju masa sačuvana je po osi x (jednaka nuli), pa zakon o očuvanju količine gibanja glasi: • Pošto blokovi u početku miruju, desni član u gornjem izrazu je jednak nuli, pa stoga slijedi izraz:

41. Ovdje je potrebno napomenuti da kada se piše izraz za zakon o očuvanju količine gibanja potrebno je smjer brzine odrediti u odnosu na isti referentni koordinatni sustav. Stoga, u ovom primjeru pretpostavlja se kako blok A giba u lijevo (negativan smjer), a blok B u desno (pozitivan smjer). • Kakobi se odredilabrzinablokovapotrebno je koristitidodatniizraz. Pošto se u problemutražibrzina, primjenitiće se metodaenergije-rad (zakonkinetičkeenergije). U ovomslučaju rad oprugekodvraćanja u njenunerastegnutuduljinujednak je promjenikinetičkeenergijeobajublokova (početnakinetičkaenergijajednaka je nuli-mirovanje), tj.:

42. Ukupni rad elastičnesileopruge je uzs2=x1=0,2 m: • Uvrštavanjem dobivenog ukupnog rada u izraz zakona kinetičke energije dobije se: • UvrštavanjemizrazazavAdobivenogizzakona o održanjukoličinegibanjadobiva se: UzizračunatubrzinuvBblokaB, brzinavAblokaA je: