270 likes | 697 Views
Aljabar Linier. Pertemuan 1. Jadwal Kuliah Hari : Rabo jam : 15.30 Sistem Penilaian UTS 30 % UAS 30 % Tugas 40 %. Silabus. Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Invers Matriks Bab IV Sistem Persamaan Linear Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
E N D
Aljabar Linier Pertemuan 1
Jadwal Kuliah • Hari : Rabo jam : 15.30 • Sistem Penilaian • UTS 30 % • UAS 30 % • Tugas 40 %
Silabus • Bab I Matriks dan Operasinya • Bab II Determinan Matriks • Bab III Invers Matriks • Bab IV Sistem Persamaan Linear • Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen • Bab VI Matlab (SPL) • Bab VII Vektor • Bab VIII Perkalian Vektor • Bab IX Ruang Vektor • Bab X Proses Gram Schmidt • Bab XI Transformasi Linier Kernel • Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen • Bab XIII MATLAB
Sub Pokok Bahasan 1 1. MatriksdanOperasinya Sub PokokBahasan – MatriksdanJenisnya – OperasiMatriks – OperasiBarisElementer –SifatOperasiMatriks BeberapaAplikasiMatriks – Representasi image (citra) – Chanel/Frequency assignment – Operation Research dan lain-lain.
Pengertian Matrix Beberapapengertiantentangmatriks : 1. Matriksadalahhimpunanskalar (bilanganriilataukompleks) yang disusunataudijajarkansecaraempatpersegipanjangmenurutbaris-barisdankolom-kolom. 2. Matriksadalahjajaranelemen (berupabilangan) berbentukempatpersegipanjang. 3. Matriksadalahsuatuhimpunankuantitas-kuantitas (yang disebutelemen), disusundalambentukpersegipanjang yang memuatbaris-barisdankolom-kolom. Notasi yang digunakan AtauAtau
Matriks • Notasi Matriks A = Baris ke -1 Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n) Kolom ke -2 Matrix A berukuran (ordo) m x n Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B) Jika untuk setiap i dan j
Jenis Matriks (i) MATRIKS NOL, adalahmatriks yang semuaelemennyanol Sifat-sifat : • A+0=A, jikaukuranmatriks A = ukuranmatriks 0 • A*0=0, begitujuga 0*A=0. (ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalahmatriks yang jumlahbarisdanjumlahkolomnyasama. Barisanelemen a11, a22, a33, ….anndisebut diagonal utamadarimatriksbujursangkar A tersebut. • Contoh : Matriksberukuran 2x2 A =
Jenis Matriks (iii) MATRIKS DIAGONAL, adalahmatriksbujursangkar yang semuaelemendiluar diagonal utamanyanol. Contoh : (iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalahmatriks diagonal yang semuaelemendiagonalnyaadalah 1. • Contoh : • Sifat-sifatmatriksidentitas : A*I=A , I*A=A
Jenis Matriks (v) MATRIKS SKALAR, adalahmatriks diagonal yang semuaelemennyasamatetapibukannolatausatu. Contoh : A= (vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalahmatriksbujursangkar yang semuaelemendibawah diagonal elemennya = 0. A =
(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalahmatriksbujursangkar yang semuaelemendiatas diagonal elemennya = 0. A= (viii) MATRIKS SIMETRIS, adalahmatriksbujursangkar yang elemennyasimetris secara diagonal. Dapatjugadikatakanbahwamatrikssimetrisadalahmatriks yang transposenyasamadengandirinyasendiri. Contoh : A = =
(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalahmatriks yang trnsposenyaadalahnegatifdarimatrikstersebut. Maka AT=-A danaij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0 Contoh :
TRANSPOSE MATRIKS • Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT. • Beberapa Sifat Matriks Transpose : • (A+B)T = AT + BT • (AT) T = A • k(AT) = (kA)T • (AB)T = BT AT
Operasi Matrix • Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan Contoh = a. b.
Operasi Matrix • Pengurangan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan Contoh = a. b.
Operasi Matrix Perkalian Matriks • Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : • Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn
HukumPerkalianMatriks : • Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC • Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C • Tidak Komutatif, A*B B*A • Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan • (i) A=0 dan B=0 • (ii) A=0 atau B=0 • (iii) A0 dan B0 • Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 OBE2
Definisi yang perlu diketahui : – Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. – Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. – Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. – Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
OBE • Sifatmatrikshasil OBE : 1. Padabaristaknolmakaunsurtaknolpertamaadalah 1 (dinamakansatuutama). 2. Padabaris yang berturutan, baris yang lebihrendahmemuat 1 utama yang lebihkekanan. 3. Jikaadabarisnol (baris yang semuaunsurnyanol), makaiadiletakkanpadabaris paling bawah. 4. Padakolom yang memuatunsur 1 utama, makaunsur yang lainnyaadalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhisifat 1, 2, dan 3 (ProsesEliminasiGauss) Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhisemuasifat(ProsesEliminasiGauss-Jordan)