Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

1. Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 6 Il modello di Black Scholes

2. Un albero particolare • Costruite un albero nel quale Y(t+1) può assumere due valori Y(t)*u (nello stato H) o Y(t)*d (nello stato L). u e d sono gli stessi su ogni nodo (indipendenza dal tempo e dagli stati) u*d = 1 • L’albero è “ricombinante” e per un numero di steps sufficientemente grande converge al moto geometrico browniano nel tempo, utilizzato nel modello di Black & Scholes

3. Verso il tempo continuo • Fissato un orizzonte di investimento h Y(t+h) – Y(t) = rYY(t) è il guadagno sull’investimento nel periodo • Il tasso di interesse sull’investimento rY è una grandezza aleatoria rY =  + , con   N (0,1) per cui è naturale scrivere la dinamica Y(t+h) – Y(t) = Y(t) + Y(t) • Per h che diventa molto piccolo otteniamo una descrizione della dinamica nel tempo continuo

4. Una dinamica più semplice • Consideriamo una variabile che segue la dinamica s(t+h) – s(t) =  + 1, con 1  N (0,1) • Ci chiediamo qual è la distribuzione della variabile al tempo t +nh. Se i disturbi i i = 1,2, …n non sono correlati, è ovvio che avremo s(t+nh)  N (s(t) + n, n2) • La media della distribuzione e la varianza crescono linearmente con l’orizzonte temporale • N.B. In econometria processi di questo tipo sono detti “integrati” o “a radice unitaria”

5. Processi stocastici • L’estensione dell’analisi al tempo continuo richiede la definizione di processo stocastico • Un processo stocastico è descritto rispetto a un insieme di eventi  e una sequenza di -algebre t (filtration). • Si tratta di tutte le possibili unioni e intersezioni di eventi osservati al tempo t. Euristicamente, E’ il set di informazione disponibile al tempo t. • Es. la filtration t generata da una serie di prezzi contiene la serie di tutti i prezzi osservati fino al tempo t. • Un processo stocastico è una sequenza di variabili aleatorie definite rispetto alla filtration e che assume valore nella -algebra della retta dei numeri reali (Borel set).

6. Processi stocastici diffusivi • Un processo stocastico, come ad esempio il prezzo Y(t) è caratterizzato da una misura di probabilità (la tripla{ t P} definisce uno spazio probabilizzato). • Un processo stocastico è detto diffusivo se lim h0 E[Y(t+h) – Y(t)] = Ydt lim h0 Var[Y(t+h) – Y(t)] = Y2dt lim h0 Prob[|Y(t+h) – Y(t)| > ] = 0,   > 0

7. Il processo di Wiener • Un processo stocastico diffusivo per il quale valga z(t+h) – z(t)  N(0, h) …è detto processo di Wiener • Si tratta di un processo a traiettorie continue che non è derivabile in nessun punto con probabilità uno (non è derivabile in quasi nessun punto) • Nel continuo: dz(t) = limh0 E[z(t+h) – z(t)] • Processo diffusivo: dS(t) = dt + dz(t)

8. Probabilità condizionale • Es. ds(t) =  dt +  dz(t) • La distribuzione di probabilità al tempo  > t di s è normale e ha media ( - t), mentre la varianza è 2 ( - t) • Es. dY(t)/Y(t) =  dt +  dz(t) rappresenta il moto geometrico browniano, e nel nostro caso il rendimento istantaneo di un titolo rischioso. Il rendimento istantaneo è distribuito secondo la normale, mentre Y(t) non lo è.

9. Il lemma di Ito • Se s(t) è un processo diffusivo e p = f(s,t) è una funzione, anche p(t) è un processo diffusivo, con lim h0 E[p(t+h) – p(t)] = (f t+ s f s + ½ s2 f ss)dt lim h0 Var[p(t+h) – p(t)] = (sf s)2dt • Es. Da dY(t)/Y(t) =  dt +  dz(t) e f(Y,t) = log Y otteniamo… d log Y(t) = ( - ½ 2)dt +  dz(t) … e Y( | t) ha distribuzione log-normale.

10. Valutazione di contratti derivati • Assumiamo che il sottostante segua un moto geometrico browniano dY(t) = Y(t) dt +  Y(t) dz(t) • Il valore di un contratto derivato C(Y,t) segue, per il lemma di Ito E(dC(t)) = (C t+ YCY + ½ 2Y2 CYY)dt Var[dC(t)] = (YCY)2dt

11. Applicazione: delta hedging • Assumiamo di voler immunizzare una posizione in un derivato C. • Consideriamo un portafoglio con • Una posizione lunga in una unità di C • Una posizione corta in  = CY unità di Y • La dinamica del portafoglio C(t) – CYY(t) E(dC(t) - CY dY(t)) = (C t + ½ 2Y2 CYY)dt Var[dC(t) - CY dY(t)] = 0

12. Black & Scholes • Il principio di non arbitraggio implica che C t + ½ 2Y2 CYY = r(C(t) - CYY(t)) …da cui la fundamental PDE ½ 2Y2 CYY +C t + rCYY(t)- rC(t) = 0 …e il valore del contratto derivato deve essere una risoluzione della PDE con condizione al contorno C(Y(T),T) = funzione di pay-off

13. Il modello di Black & Scholes • Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)

14. Prezzi di opzioni put • Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo

15. Ancora su ENEL • Data di valutazione 16/03/2005 • Data di esercizio 15/05/2005 • Prezzo a pronti ENEL 7,269 • Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66 • Prezzo forward Enel: 7,269/0,9966 = 7,2937989 • Prezzo strike: 7,6 • Volatilità: 16,38% • Delta Call = N(–0,58602) = 27,8931% • Leverage = 7,6 x N(–0,652432) = 1,9536652 • Prezzo = 7,269 x 0,278931 – 0,9966 x 1,9536652 = 0,0805254 = prezzo di mercato