Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

1. Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 11 Prodotti Strutturati di Tasso

2. Derivati di tasso

3. Formula di Black • La formula di Black, che viene utilizzata per le opzioni sui futures, è in effetti un semplice modo di riscrivere la formula di Black e Scholes utilizzando il prezzo forward come sottostante, piuttosto che il prezzo spot. • Ricordando ancora che il prezzo forward è definito come F(Y,t) = Y(t)/v(t,T) e le formule di Black e Scholes otteniamo immediatamente Call = v(t,T)[F(Y,t)N(d1) – KN(d2)] Put = v(t,T)[– F(Y,t)N(– d1) + KN(– d2)] • Per motivi tecnici che non spieghiamo in questo corso l’utilizzo del prezzo forward piuttosto che di quello a pronti è un criterio di largo utilizzo nei derivati su tassi di interesse e su titoli obbligazionari, e questo rende la formula di Black largamente utilizzata.

4. Opzioni su titoli di debitoUtilizzo • Opzioni su titoli di debito sono utilizzate soprattutto per modificare il piano di rimborso dei titoli obbligazionari (titoli extendible/retractable) • Titoli putable: titoli che contengono una put sul titolo, a disposizione dell’investitore, tipicamente per un rimborso al nominale (es. i vecchi CTO) • Titoli callable: titoli che contengono una call sul titolo, a disposizione dell’emittente, per richiamare il debito (presente in molti titoli corporate) • Titoli exchangeable: cambio del piano di rimborso

5. Exchangeable bond

6. Opzioni su titoli obbligazionariValutazione • Il principio di fondo della valutazione di opzioni su titoli obbligazionari è che il sottostante cui è riferita l’opzione è il prezzo forward del titolo, piuttosto che il suo prezzo a pronti, e anche la volatilità deve essere riferita al prezzo forward. • Intuitivamente, questo conduce a utilizzare la formula di Black. Un’opzione call su un coupon bond con scadenza T e cedola fissa c, per esercizio al tempo  e strike K è dato da Call = v(t,)[F(P(t,T;c),t)N(d1) – KN(d2)] dove F(P(t,T;c),t) = [P(t,T;c) – I(t, )]/v(t,) e I(t,) è il valore attuale del flusso di interessi che verrà maturato dal titolo tra la data corrente e quella di esercizio dell’opzione.

7. Il portafoglio di replica • Consideriamo un’opzione call su un titolo P(t,T;c) con scadenza T e cedola c per un ammontare nominale L e data e prezzo di esercizio  e K rispettivamente. • Il valore dell’opzione corrisponde a • Una posizione lunga per LN(d1) di valore nominale del titolo • Una posizione corta in un flusso di cedole di ammontare cLN(d1) con scadenze ti   • Una posizione corta in uno ZCB per un ammontare nominale LKN(d2) e scadenza .

8. La volatilità del prezzo forward • La variabile chiave per la valutazione delle opzioni su titoli obbligazionari è la volatilità • Nel modello di Black la volatilità è riferita a variazioni percentuali del fattore di sconto, nell’assunzione che questo sia distribuito normalmente. • Poiché sul mercato è quotata la volatilità del tasso, la volatilità del fattore di sconto è recuperata calcolando Vol. sconto = vol.tasso x duration x tasso dove il tasso di rendimento e la duration sono riferiti al contratto a termine che costituisce il vero sottostante del contratto. • Si noti che in generale la formula coinvolge il fattore di rischio, che in questo caso è rappresentato dal tasso interno di rendimento, e dalla sensitività del fattore di sconto a questo fattore di rischio, la duration.

10. Contratti derivati su tassiCap e floor

11. Opzioni su tassi di interesseUtilizzo • Le opzioni su tassi di interesse sono utilizzate per porre un limite superiore (cap) o inferiore (floor) al valore di una cedola indicizzata • Un cap/floor è un portafoglio di opzioni call/put sul tasso di interesse, tipicamente definito sullo scadenzario di un flusso di cedole indicizzate • La singola opzione del portafoglio è chiamata caplet/floorlet. L’utilizzo è Tasso indice – max(Tasso Indice – Strike, 0) Tasso indice + max(Strike – Tasso Indice, 0)

12. Call – Put = v(t,)(F – Strike) • Ricordando la relazione di parità tra put e call e applicandola a cap/floor otteniamo Caplet(strike) – Floorlet(strike) =v(t,)[cedola attesa – strike] =v(t,)[f(t,,T) – strike] • Questo suggerisce immediatamente che il sottostante del caplet e del floorlet deve essere il tasso d’interesse forward, e la volatilità deve essere quella riferita a tale tasso.

13. Opzioni su tassi di interesseValutazione • Ciascuna delle opzioni sui tassi di interesse caplet /floorlet sono prezzate individualmente e sommate per ottenere il valore del cap/floor • Una ricetta semplice consiste nell’utilizzare la formula di Black & Scholes avendo cura di • Considerare il tasso forward e la volatilità corrispondente anziché il tasso spot • Il valore così ottenuto viene scontato utilizzando il fattore di sconto corrispondente alla data di esercizio

14. Cap/Floor: copertura • Utilizzando la formula di Black, otteniamo Caplet = (v(t,tj) – v(t,tj+1))N(d1) – v(t,tj+1) KN(d2) Floorlet = (v(t,tj+1) – v(t,tj))N(– d1) + v(t,tj+1) KN(– d2) • La formula suggerisce immediatamente una strategia di replica o copertura basata su posizioni lunghe (corte) sulla scadenza tj e corte (lunghe) sulla scadenza tj+i per caplet (floorlet)

15. Cap/FloorConvezioni di mercato • I contratti tipicamente scambiati sul mercato sono con cadenza trimestrale sotto la scadenza di un anno e semestrali per scadenze più lunghe • Un cap/floor è detto at-the-money se il prezzo strike è uguale al tasso forward swap definito sullo stesso scadenzario del contratto.

22. Swaption • Le swaption sono opzioni che consentono di entrare in un swap fisso contro variable a un tasso strike, ad una data prefissata. • Una payer-swaption dà il diritto a entrare in un payer swap e corrisponde a un’opzione call, mentre una receiver-swaption dà diritto a entrare in un receiver swap e corrisponde a un’opzione put.

23. Cap/floor e swaption • Come cap e floor, anche la swaption è definita at-the-money se lo strike è uguale al tasso forward swap su un contratto per lo stesso scadenzario. • Si noti che mentre un cap è un portafoglio di opzioni, una swaption è un’opzione su un portafoglio (un’opzione basket). • Per questo motivo una swaption vale sempre meno del corrispondente cap (stesso scadenzario e strike)

24. Swap e forward start swap • Un swap permette al detentore di scambiare un flusso di pagamenti fissi con un flusso di pagamenti indicizzati. • Il tasso swap è il tasso fisso stabilito all’origine, in modo che, scambiato con pagamenti indicizzati, rende il valore del contratto pari a zero. • Un swap forward è un swap che inizia ad una data futura, diciamo tn • Il tasso forward swap è il tasso fisso, stabilito in t, che, scambiato con un flusso di cedole indicizzate, rende il valore del swap forward pari a zero.

25. Swaption • Una swaption fornisce al detentore il diritto, ma non l’obbligo, di entrare in un contratto swap ad una data futura tn con un tasso swap pari a Rs. • Date di reset{tn ,tn+1,……tN} per il swap, con pagamenti dovuti alle date {tn +1 ,tn +2,……tN + 1} • Definiamo i = ti +1– ti il tempo tra le date di pagamento e di reset delle cedole ed una combinazione lineare di fattori di sconto

26. Il pay-off di una swaption… • Una swaption con strike Rs dà al detentore il diritto di entrare in un swap nel quale paga fisso e riceve variabile può essere vista come una sequenza di pay-off… i max[R(tn;n,N) - Rs ,0] dove R(tn;n,N) è il tasso swap che verrà osservato al tempo di esercizio tn mentre il valore attuale del pay-off sarà, A(tn;n,N) max[R(tn;n,N) - Rs ,0]

27. …e la valutazione • Il valore della swaption è calcolato quindi usando Swaption = A(t;n,N) EA{max[R(tn;n,N) - Rs ,0]} • Notate che il sottostante dell’opzione è un tasso, piuttosto che un prezzo. Se assumiamo che esso abbia distribuzione log-normale, possiamo recuperare il prezzo utilizzando ancora una volta la formula di Black Swaption = A(t;n,N)Black[S(t;n,N),K,tn,(n,N)]

28. Swaption: ricetta di valutazione • La valutazione della swaption è complessa, ma la ricetta finale è simile a quella utilizzata per la valutazione di cap e floor. • Possiamo utilizzare la formula di Black, avendo cura di • Considerare il tasso forwardswap e la volatilità corrispondente anziché il tasso swap • Scontare il risultato così ottenuto utilizzando la somma dei fattori di sconto sullo scadenzario del swap sottostante.

29. Swaption: copertura • Utilizzando la formula di Black, otteniamo Swaption = (v(t,tj) – v(t,tN))N(d1) – iv(t,ti) KN(d2) • La formula suggerisce immediatamente una strategia di replica, suggerita o copertura basata su • Una posizione lunga sulla scadenza di pagamento del primo flusso per un ammontare N(d1) • Una posizione corta in corrispondenza del pagamento dell’ultimo flusso per un ammontare N(d1) • Una posizione corta in un portafoglio di titoli sullo scadenzario per un ammontare N(d2)

30. Esercizio su un contratto swap • Scadenzario: • Data iniziale 24/12/2001 • Prima scadenza 24/12/2002 • Seconda scadenza 24/12/2003 • Scadenza finale 24/12/2006 • Periodicità cedole: trimestrale, act/360 • Data primo fixing Euribor: 20/12/01 • Data primo fixing Libor US $: 20/12/02

31. I flussi di pagamento • La banca paga: Euribor 3 mesi, posticipato • Il cliente paga: • Dalla data iniziale alla 1a scadenza: 2.85% • Dalla 1a alla 2a scadenza • 4.20% se Libor US < 5.25% • Libor US se Libor US  5.25% • Dalla 2a scadenza alla scadenza finale • 5.20% se Libor US < 6.25% • Libor US pagato in Euro se Libor US  6.25%