Assicurazione vita e mercato del risparmio gestito

1. Assicurazione vita e mercato del risparmio gestito Lezione 12 Teoria dell’utilità attesa

2. Scelte d’investimento e utilità attesa • Alla base delle tecniche di allocazione del portafoglio c’è un sistema di regole che consente di ordinare titoli e le loro combinazioni • Questo sistema di regole è alla base di quella che è nota come teoria dell’utilità attesa. Secondo questa teoria la scelta tra alternative rischiose può essere rappresentata confrontando i valori attesi di una funzione, detta funzione di utilità. • Se A e B sono due alternative rischiose la teoria dell’utilità attesa consente di affermare che ABE[U(A)] < E[U(B)] dove il simbolo  indica la preferenza di B rispetto ad A e la funzione U(.) rappresenta la funzione di utilità.

3. Scelta tra alternative rischiose • Utilità attesa: scelta tra lotterie A e B, A < B (B è preferito ad A) se E(u(A)) < E(u(B)) • La funzione u(.) è crescente e concava nel caso dell’avversione al rischio. • La regola di scelta è determinata da assiomi. Particolare importanza ha l’assioma di independenza: A < B  A +(1- )C< B +(1- )C

4. Probabilità equivalente • Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL. • La probabilità di WH è p. • Un investitore è avverso al rischio se pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL) • Si consideri un cambio di probabilità da p a q qU(WH)+ (1 – q) U(WL) = U(pWH+ (1 – p)WL)

5. Equivalente certo • Assumiamo una lotteria che dà valore WH e WL. • La probabilità di WH è p. • Un investitore è avverso al rischio se pU(WH)+ (1 – p) U(WL) < U(pWH+ (1 – p)WL) • L’equivalente certo WCE è tale che pU(WH)+ (1 – p) U(WL) = U(WCE) L’avversione al rischio implica WCE < E(W)

6. Utilità attesa e avversione al rischio • Consideriamo una lotteria W, con valore medio E(W). • Un individuo è detto neutrale al rischio se è indifferente a percepire sicuramente una somma pari a E(W) o la lotteria W. Quindi E[U(W)] = U(E(W)) • Uni individuo è avverso al rischio se preferisce la somma pari a E(W) alla lotteria W, per cui E[U(W)] < U(E(W)) • Un risultato matematico (disuguaglianza di Jensen) consente di affermare che nel caso di avversione al rischio la funzione di utilità è concava, mentre nel caso di neutralità a rischio è lineare. • Per misurare il grado di avversione al rischio cerchiamo di determinare un valore π tale che E[U(W)] = U(E(W) – π ) • Con un’espansione di Taylor possiamo verificare che π = ½ (– U’’/U’)Var(W) dove U’ e U’’ rappresentano la derivata prima e seconda della funzione di utilità.

7. Misure di avversione al rischio • Il termine – U’’/U’ misura la concavità della funzione ed è noto come misura di avversione al rischio assoluta (ARA) di Arrow-Pratt • Altre definizioni misurano l’avversione al rischio in proporzione alla ricchezza, definendo relative risk aversion RRA = W*ARA • Le diverse funzioni di utilità si differenziano per il diverso comportamento dell’avversione al rischio, assoluta o relativa, al variare della ricchezza. In particolare ricordiamo • La funzione di utilità quadratica (è facile da usare, ma ha la caratteristica irrealistica di un’avversione al rischio crescente con la ricchezza) • La funzione esponenziale, o CARA (constant absolute risk aversion) • La power utility, o CRRA (constant relative risk aversion) • La funzione di utilità logaritmica (un caso limite di CRRA) • HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): il caso più generale che ingloba i casi precedenti con particolari specificazioni dei parametri)

8. Quadratica CARA CRRA Logaritmica HARA U(W) = W – b W2 U (W) =a – exp (– b W) U(W) = [W– 1 ]/  U(W) = ln(W) Funzioni di utilità

9. Funzioni di utilità • Funzioni di utilità differenti differiscono nel modo in cui l’avversione al rischio cambia con la ricchezza • Utilità quadratica (facile da usare, con due problemi: preferenze non monotone, titoli rischiosi sono beni inferiori) • Utilità esponenziale o CARA (constant absolute risk aversion) • Power utility, o CRRA (constant relative risk aversion) • Neutralità al rischio e utilità logaritmica come casi speciali • HARA (hyperbolic absolute risk-aversion): (caso più generale, tolleranza al rischio lineare nella ricchezza)

10. Prospect theory • Kahneman e Tversky hanno proposto un nuovo approccio alla teoria dell’utilità • I principi fondamentali sono • Esistenza di un “reference point” che discrimina tra guadagni e perdite • Deformazione delle probabilità, differente per guadagni e perdite • Avversione alle perdite (le perdite sono pesate più dei guadagni)

11. Reference point • Uno può cambiare la propria attitudine al rischio a seconda che la perdita sia sotto (perdita) o sopra (guadagni) un “reference point”. • Qual è il “reference point”? • Per guadagni di borsa può essere ritorno zero (cash), o un tasso risk-free return, o un benchmark. • Per una lotteria generale, può essere il reddito medio o i guadagni passati (“house money”)

12. La funzione di utilità • La “Prospect theory” propone la seguente funzione di utilità U(r) + w+(p)(U(WH) – U(r)) – w–(1 – p)(U(r)–U(WH)) con • r il “reference point” • w+(p)e w–(1 – p) deformazione di probabilità •  “loss aversion”

13. Deformazione di probabilità • Tversky e Kahneman proposero la seguente forma funzionale per la deformazione di probabilità

14. Expected utility: no loss aversion

15. Expected utility: loss aversion

16. Rischio e incertezza • Knight, un economista degli anni 20, in una polemica con Keynes, distingueva rischio e incertezza. • Rischio è quando si conoscono le probabilità di successo. Incertezza è quando non si conoscono queste probabilità (incertezza in senso di Knight) • Come si comportano gli individui davanti all’incertezza? Il paradosso di Ellsberg riguarda la scelta tra lotterie ambigue e non ambigue. E’ il ruolo della informazione nella scelta

17. Paradosso di EllsbergB < Z?...

18. … 0.5Z + 0.5A < 0.5B + 0.5A?

19. Financial puzzles • Home bias: • Gli investitori detengono una quota spoporzionatamente alta del loro portafoglio in titoli domestici • IPO underpricing • Azioni alla prima quotazione danno un rendimento medio molto più elevato del mercato • Seasoned securities • Titoli poco scambiati hanno un rendimento più elevato degli altri • Fondi chiusi: la somma del valore di mercato dell’attivo dei fondi è tipicamente minore del valore complessivo delle quote dei fondi. Lo stesso non avviene per i fondi aperti.