Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları

1. BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

2. İşletme İstatistiği Araçları • Tanımlayıcı İstatistik • Veriyi toplama, sunma ve betimleme • Çıkarımsal İstatistik • Sadece örneklem verisine dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma ve/veya karar verme Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

3. Popülasyonlar ve Örnekler • BirPopülasyonaraştırmaya konu olan öge veya bireylerin kümesidir. • Örnekler:Gelecek seçimlerdeki muhtemel tüm seçmenler Bugün imal edilen tüm parçalar Kasım ayı için alınan tüm makbuzlar • BirÖrnekler popülasyonun bir alt kümesidir • Örnekler:Bir görüşme için rastgele seçilmiş olan 1000 seçmen Tahribatlı test için seçilmiş olan çok az sayıdaki parça Denetim için rastgele seçilmiş olan makbuzlar Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

4. Popülasyona karşı Örneklem Popülasyon Örneklem a b c d ef gh i jk l m n o p q rs t u v w x y z b c g i n o r u y Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

5. Neden Örneklem? • Genele göre daha az zaman alıcı • Genele göre daha düşük maliyetli • Örnekleme dayanan yeterince yüksek bir hassasiyet ile istatistiksel sonuçlar elde etmek mümkündür. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

6. Basit Rastgele Örneklem • Popülasyondaki tüm nesneler eşit seçilme şansına sahiptir • Nesneler bağımsız bir şekilde seçilmektedir • Örnekler rastgele sayılar tablosundan veya bilgisayardaki rastgele sayı üreteçlerinden elde edilebilmektedirler • Basit bir rastgele örneklem diğer örneklem yöntemleriyle kıyaslandığında en ideal olanıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

7. Çıkarımsal İstatistik • Örneklem sonuçlarını inceleyerek bir popülasyon hakkında çıkarımda bulunma Örneklem İstatistiğiPopülasyon parametreleri (bilinen) çıkarım(bilinen fakat, örneklem bulgularından tahmin edilebilinen) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

8. Çıkarımsal İstatistik Çıkarım örneklem sonuçlarına dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma sürecidir. • Kestirim • Örneğin, örneklem ortalama ağırlığını kullanarak popülasyon ortalama ağırlığını kestirmek • Hipotez testi • Örneğin, popülasyonun ortalama ağırlığının 62 kg olduğu iddiasının test edilmesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

9. Örneklem Dağılımları • Birörneklem dağılımıbir popülasyondan seçilmiş olan verilmiş bir örnek büyüklüğü için olan bir istatistiğin tüm muhtemel sonuçlarının dağılımıdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

10. Bölümün Anahatları Örneklem Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

11. Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

12. Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi • Bir popülasyon olduğunu varsayınız… • Popülasyon büyüklüğüN=4 • Rassal Değişken, X,bireylerin yaşıdır • X Değerleri: 18, 20, 22, 24 (yıl olarak) D C A B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

13. Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi (devam) Popülasyon Dağılımı için Özet Ölçütler: P(x) 0,25 0 x 18 20 22 24 A B C D Tekdüze Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

14. Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi Şimdi büyüklüğü n=2 olan tüm muhtemel örneklemleri göz önüne alınız (devam) 16 Örneklem Ortalamaları 16 muhtemel örneklem (yerine koyarak örnekleme) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

15. Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi Tüm örneklem ortalamalarının Örneklem Dağılımı (devam) 16 Örneklem Ortalamaları Örneklem Ortalamalarının Dağılımı _ P(X) .3 .2 .1 _ 0 18 19 20 21 22 23 24 X (artık Tekdüze değil) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

16. Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi Bu Örneklem Dağılımının Özet Ölçütleri: (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

17. Popülasyonun Örneklem Dağılımı ile Karşılaştırılması Örneklem Ortalamaları Dağılımı n = 2 Popülasyon N = 4 _ P(X) P(X) 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 _ 0 0 1820 22 24 A B C D 18 19 20 21 22 23 24 X X Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

18. Örneklem Ortalamasının Beklenen Değeri • X1, X2, . . . Xnbir popülasyondan olan rassal örnekleri temsil ediyor olsun • Bu gözlemlerin Örneklem Ortalaması değeriaşağıdaki gibi tanımlanmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

19. Ortalamanın Standart Hatası • Aynı popülasyondan olan aynı örneklem büyüklüğündeki farklı örnekler farklı örneklem ortalamalarına yol açabilirler • Örneklemden örnekleme göre değişen ortalamanın değişkenliğinin bir ölçütü deOrtalamanınStandart Hatası ile verilmektedir • Ortalamanın standart hatasının, örneklem büyüklüğü arttıkça azaldığına dikkat ediniz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

20. Eğer örneklem değerleri bağımsız değilse (devam) • Eğer örneklem büyüklüğü n, popülasyon büyüklüğü N’e göre küçük bir kesri temsil etmiyorsa, o halde bireysel örneklem üyeleri bir diğerinden bağımsız olarak dağılmamışlardır • O halde, gözlemler bağımsız olarak seçilmemişlerdir • Bunu hesaba katan bir düzeltme yapmak gerekir veya Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

21. Eğer Popülasyon Normal ise • Eğer bir popülasyonμortalama ve σ standart sapma ile normaldağılıyorsa,örneklem dağılımı da ortalama ile normal olarak dağılmaktadır ve • Eğer örneklem büyüklüğü n popülasyon büyüklüğü N’e göre büyük değilse, o halde ve Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

22. Ortalamanın Örnekleme Dağılımı için Z-değeri • ‘in örnekleme dağılımı için Z-değeri: burada: = örneklem ortalaması = popülasyon ortalaması = ortalamanın standart hatası Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

23. Örnekleme Dağılımının Özellikleri (yaniyansız ise) Normal Popülasyon Dağılımı Normal Örnekleme Dağılmı (aynı ortalamaya sahiptir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

24. Örnekleme Dağılımının Özellikleri (devam) • Yerine koyarak örnekleme için: n arttıkça, azalır Büyük örneklem büyüklükleri Küçük örneklem büyüklüğü Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

25. Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa • Merkezi Limit Teoremi uygulanabilir: • Popülasyon normal olmasa bile, • …popülasyondan olan örneklem ortalamaları, örneklem büyüklüğü yeterince büyük olduğu ölçüde yaklaşık olarak normal olacaktır. Örnekleme dağılımının özellikleri: ve Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

26. Merkezi Limit Teoremi Örnekleme dağılımı popülasyonun şekli ne olursa olsun neredeyse normale dönüşür Örneklem büyüklüğü yeterince büyük oldukça… n↑ Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

27. Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa (devam) Popülasyon Dağılımı Örnekleme dağılımı özellikleri: Merkezi Eğillim Örneklem Dağılımı (n arttıkça normale dönüşür) Varyasyon Büyük örneklem büyüklüğü Küçük örneklem büyüklüğü Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

28. Ne Kadar Büyük Olmalı? • Pek çok dağılım için, n > 25neredeyse normal bir örnekleme dağılımı verecektir • Normal popülasyon dağılımları için, örnekleme dağılımları daima normal olarak dağılmıştır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

29. Örnek • Ortalaması μ = 8vestandart sapmasıσ = 3olan bir büyük popülasyonu ele alınız. Büyüklüğü n = 36olan rassal bir örneklemi ele alınız. • Örneklem ortalamasının 7,8 ile 8,2 arasında olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

30. Örnek (devam) Çözüm: • Popülasyon normal olarak dağılmamışsa bile, merkezi limit teoremi kullanılabilmektedir (n > 25) • … yani örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir • … ortalaması= 8 • …ve standart sapması Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

31. Örnek (devam) Çözüm (devam): Popülasyon Dağılımı ÖrneklemeDağılımı StandartNormal Dağılımı 0,1915 +0,1915 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Örneklem Standardize et ? ? -0,5 0,5 7,8 8,2 Z X Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

32. Kabul Aralıkları • Amaç: Bir popülasyon ortalaması ve varyansı verilmişken örneklem ortalamalarının meydana gelmesinin muhtemele olacağı bir aralığı tespit ediniz • Merkezi Limit Teoremi ile, dağılımının eğer n yeterince büyükse μ ortalama ve ile yaklaşık olarak normaldir. • zα/2normal dağılımda α/2 ‘lik bir alanı kaplayan z-değeri olsun (yani - zα/2‘den zα/2‘ye kadar 1 – α’lik bir olasılığa karşılık gelir) • O halde, X’i1 – α olasılık ile kapsayan bir aralıktır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

33. Örneklem Orantısının Örnekleme Dağılımları Örnekleme Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

34. Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı P = aynı özelliklere sahip olan popülasyonun orantısı • Örnekorantısı ( ) P’nin bir tahmini verir: • 0 ≤ ≤ 1 • bir binom dağılıma sahiptir, fakat nP(1 – P) > 5 olduğunda bir normal dağılıma yaklaştırılabilirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

35. ’nin Örnekleme Dağılımı • Normaleyaklaşma: Özellikler: ve Örnekleme Dağılımı 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,81 (buradaP = popülasyon orantısı) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

36. Orantılar için Z-Değerleri ’yi aşağıdaki formül ile Z değerine standardize ediniz: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

37. Örnek • Halk oylaması A’yı destekleyen seçmenlerin orantısı P = 0,4 ise, büyüklüğü 200olan bir örneklem için orantının 0,40 ile 0,45 arasında olma olasılığı nedir? • yani: eğerP = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤≤ 0,45) nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

38. Örnek (devam) • eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? ‘yi bulunuz: Standart normale dönüştürünüz: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

39. Örnek (devam) • eğer P = 0,4 ve n = 200, ise P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir? Standardnormal tabloyu kullanınız: P(0 ≤ Z ≤ 1,44) = 0,4251 Standardize Normal Dağılım Örnekleme Dağılımı 0,4251 Standardize ediniz 0,40 0,45 0 1,44 Z Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

40. Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Örnekleme Dağılımları Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

41. ÖrneklemVaryansı • x1, x2, . . . , xnbir popülasyondan rassal örneklem olsun. Örneklemvaryansıaşağıdaki gibidir • örneklem varyansının kare kökü örneklem standartsapması olarak anılmaktadır. • örneklem varyansı aynı popülasyona ait olan farklı rassal örneklemler için farklı varyansa sahiptirler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

42. Örneklem Varyanslarının Örnekleme Dağılımı • s2’ in örnekleme dağılımı σ2ortalamasına sahiptir • Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde • Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde has bir n – 1 serbestlik derecesi ile 2 dağılımınasahiptirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

43. Ki-kare Dağılımı • Ki-kare dağılımı serbestlik derecesine bağımlı olan bir dağılımlar ailesidir: • ν = n – 1 • 2 Tablolarıki-kare olasılıklarını içermektedir. 2 2 2 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 ν= 1 ν= 5 ν= 15 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

44. Serbestlik Derecesi (ν) Fikir:Örneklem ortalaması hesaplandıktan sonra değişkenlik gösterebilme serbestliğine sahip olan gözlem sayısı Örnek: 3 sayının ortalamasının 8,0 olduğunu varsayınız X1 = 7 X2 = 8 iseX3nedir? Eğer bu üç değerin ortalaması 8,0 ise, X39olmalıdır (yani,X3değişkenlik gösterme serbestliğine sahip değildir Burada, n = 3, yani serbestlik derecesi= n –1 = 3 – 1 = 2 (2 değer herhangi bir değer i almaktadır, fakat üçün değer verilen bir ortalama için değişebilme serbestliğine sahip değildir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

45. Ki-kare Örnek • Bir ticari soğutucu imalatçısı sıcaklığı çok küçük bir varyasyonla muhafaza etmelidir. Şartnameye göre standart sapma 4 dereceden daha yüksek olmamalı (16 derece2). • 14 soğutucudan oluşan bir örneklem test edilecektir • Popülasyon standart sapmasının 4’ü aşma olma olasılığı 0,05 ise örneklem varyansının üst limit olan (K) nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

46. Ki-kare Değerinin Bulunması serbestlik derecesi ile dağılmış olan ki-kare dağılımıdır • Üst kuyrukta alanı 0,05 alanı olan ki-kare dağılımını kullanınız: 213 = 22,36 (α = 0,05 and 14 – 1 = 13 ν.) olasılık α=0,05 2 213 = 22,36 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

47. Ki-kare Örnek (devam) 213 = 22,36(α = 0,05 ve14 – 1 = 13 ν) O halde: veya (buradan = 14) so Eğer n=14 örnekleminden olans2 27,52’den daha büyükse, popülasyon varyansının 16’yı aştığına dair güçlü bir kanıt mevcuttur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER