MATEMATIKA S STATISTIKO UNIVERZITETNI ŠTUDIJ BIOKEMIJE 1. LETNIK

1. MATEMATIKA S STATISTIKO UNIVERZITETNI ŠTUDIJ BIOKEMIJE 1. LETNIK

2. ŠTEVILA IN FUNKCIJE • Računanje s približki • Realna števila • Funkcije

3. Približne količine Avogadrovo število je 6.023x1023 molekul/mol. Kaj to pomeni? V enem molu snovi je natanko 602300000000000000000000 molekul? Seveda ne, vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so približne. decimalna mesta 6.02300 pravilna mesta Število decimalnih mest je odvisno od zapisa: 203.55=2.0355x102=2035.5x10-1 število pravilnih mest pa je vedno enako.

4. Pomemben dogovor: v zapisu obdržimo le značilna mesta, tj. če zapišemo N0=6.0230x1023 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna. Vsaka količina je rezultat zaokrožanja. Pri tem števke 0,1,2,3,4 zaokrožamo navzdol, 5,6,7,8,9 pa navzgor. PRIMER 1.08462 = 1.085 zaokroženo na tri decimalke = 1.08zaokroženo na dve decimalki Zato N0=6.0230x1023 pomeni 6.02295x1023≤N0< 6.02305x1023,oziroma (6.0230 ± 0.00005)x1023 medtem ko N0=6.023x1023 pomeni 6.0225x1023≤N0< 6.0235x1023 oziroma (6.023 ± 0.0005)x1023

5. Računanje s približnimi količinami (1.2846+21.72)/13.14=? kalkulator: 1.750730594 Katere decimalke je smiselno obdržati? praktična pravila: • natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov • pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev (npr. 1.2846+21.72=23.00 in ne 23.0046) • pri množenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev (npr. 23.0046/13.14=1.751 in ne 1.75 ali 1.750730594)

6. PRIMERI S titracijo smo 25 cm3 raztopine NaOH nevtralizirali z 12.21 cm3 raztopine HCl. Izračunaj koncentracijo NaOH, če je koncentracija HCl 0.0942 mol/dm3. (12.215 x 0.09425)/24.995=0.046059761 (12.205 x 0.09415)/25.005=0.045954839 c=(12.21 x 0.0942)/25.00=0.04600728 Upoštevamo tri značilna mesta⇒c=0.0460 mol/dm3 Koliko železa nastane, če se pri redukcijski reakciji Fe2O3 + 3 CO  2 Fe+3 CO2 porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe 55.85 g/mol, CO 28.01 g/mol) m = 503/28.01 x 2/3 x 55.85 = 668.634412 Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno. m = 669 g

7. 0 1 Realna števila Realna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila. Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine. Ker ni mogoče napisati neskončnega zaporedja decimalk, sloni zapis in računanje z realnimi števili na približkih. Le nekatera realna števila (npr. koreni, število π ...)so podana implicitno in z njimi lahko računamo točno, brez zaokroževanja (npr. √2x√3=√6). Če na premici označimo enotsko dolžino, lahko točke premice enačimo z množico realnih števil ℝ. (pravimo, da smo na premici vpeljali koordinate)

8. Realno število lahko podamo z vedno boljšimi približki, npr. 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, ... ,  π. Pri računanju z realnimi števili si prav tako pomagamo s približki: če a,b ∈ℝnadomestimo približno nadomestimo za’,b’, potem soa’+b’,a’-b’, a’b’ ina’/b’ približki zaa+b,a-b, ab ina’/b’. (vendar pozor, to niso vedno decimalni približki!) npr. 2.56x3.17 = 8.1152, medtem ko je 2.5 x 3.1 = 7.75 Sčasoma se je izkazalo, da je podajanje realnih števil z eksplicitnim navajanjem decimalk preveč okorno in da je boljše, če realno število podamo kot “največji” element neke (navzgor) omejene množice realnih števil.

9. 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.226 2.227 2.228 2.229 2.230 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237 2.2350 2.2351 2.2352 2.2353 2.2354 2.2355 2.2356 2.2357 2.2358 2.2359 2.2360 2.2361 PRIMER Naj bo A, množica naravnih števil, katerih kvadrat je manjši od 5: 2.2 2.23 2.236 2.2360 Vsaka navzgor omejena množica realnih števil določa zaporedje decimalk in s tem neko realno število

10. Tako določeno število a, presega vse elemente množice A, kar ne velja za nobeno od a manjše število, zato pravimo, da je anatančna zgornja meja množice A. latinsko: a je supremum množice A, pišemo a=sup A Vsaka navzgor omejena množica realnih števil ima natančno zgornjo mejo Kadar je a=sup A∈A, pravimo, da je amaksimum množice A in pišemo a=max A. Navzgor omejena množica ima vedno supremum, lahko pa se zgodi, da nima maksimuma. Vsaka navzdol omejena množica realnih števil ima natančno spodnjo mejo, ki ji pravimo tudi infimum in pišemo a=inf A. Kadar je a=inf Aelement množiceA, pravimo, da je aminimum množice A in pišemo a=minA. Navzdol omejena množica ima vedno infimum, lahko pa se zgodi, da nima minimuma.

11. PRIMERI (maksimuma ni) max=0 sup {ploščine krogu vrisanih mnogokotnikov} = ploščina kroga = inf {ploščine krogu orisanih mnogokotnikov} dolžina krivulje= sup {dolžine‘lomljenk’ ob krivulji}

12. Temperatura (oC) Kisik (mg/L) Temperatura (oC) Kisik (mg/L) 0 14,16 18 9,18 1 13,77 19 9,01 2 13,40 20 8,84 3 13,05 21 8,68 4 12,70 22 8,53 5 12,37 23 8,38 6 12,06 24 8,25 7 11,76 25 8,11 8 11,47 26 7,99 9 11,19 27 7,86 10 10,92 28 7,75 11 10,67 29 7,64 12 10,43 30 7,53 13 10,20 31 7,42 14 9,98 32 7,32 15 9,76 33 7,22 16 9,56 34 7,13 17 9,37 35 7,04 FUNKCIJE Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg Angleška 1. liga 2005-2006

13. f: x ↦f(x) xjeargument, f(x)jefunkcijska vrednost. Funkcijaje pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Funkciji f in g lahkosestavimo, če sovrednostif vsebovane med argumenti g.

14. Grafična predstavitev funkcije Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

15. Podajanje s formulo linearna funkcija pot pri prostem padcu razdalja točke do izhodišča Herenova formula povprečna vrednost Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk. Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

16. 1 1 Graf Graff je množica točk v ravnini, ki so oblike (x,f(x)) za x∈A.

17. Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y,f(x,y)) za (x,y)∈A.

18. Odsekoma definirane funkcije PVT-diagram idealnega plina PVT-diagram realne snovi

19. Značilnosti grafa odražajo naravo funkcijske zveze. • Definicijsko območje, zaloga vrednosti • Naraščanje in padanje, ekstremi • Ukrivljenost • Trend na robu definicijskega območja • Periodičnost in simetrije

20. A B h h t t C D h h t t PRIMERI V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladineh vode vodvisnosti od časa t ? Ker so stene posode navpične, gladina narašča enakomerno - linearno.

21. A E B E v v C D E E v v Kateri graf ponazarja kinetično energijo Etelesa, ki se giblje s hitrostjo v? Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.

22. A B V V p p C D V V p p Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p? Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.

23. A y B y t t C D y y t t Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari? Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari? Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja: moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena. Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja. Matematično: y=e-atsin(bt), a jedušenje, b je frekvenca nihanja.

24. A B T T t t D C T T t t Kateri graf prikazuje spremembo temperature Togrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode? prazna posoda posoda z vodo Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre.

25. A B t t D C t t Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri?

26. 1 1 Definicijsko območje in zaloga vrednosti Definicijsko območje Dfje ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

27. naraščajoča padajoča Naraščanje in padanje funkcije Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine.

28. a b Lokalno naraščanje in padanje funkcije pri a je funkcija padajoča pri b je funkcija naraščajoča

29. Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum

30. Lokalni ekstremi lokalni maksimum ravnovesne lege so tipični primeri lokalnih ekstremov lokalni minimum

31. Konveksnost in konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol. konveksna konkavna konveksnost grafa ponazarja pospeševanje procesa konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa

32. Prevoji Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno. Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

33. Asimptote Vodoravna asimptota npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira npr. dušeno nihanje

34. Linearna asimptota Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida

35. Periodičnost in simetrija liha soda

36. Predstavitev značilnosti funkcije na grafu • Definicijsko območje, zaloga vrednosti • Naraščanje in padanje, ekstremi • Ukrivljenost • Trend na robu definicijskega območja • Periodičnost in simetrije

37. Elementarne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Algebrajske funkcije Eksponentne in logaritmske funkcije Kotne in ločne funkcije

38. Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij. Osnovne funkcije: potence eksponentna ex logaritemska lnx koreni sinus sinx arkus sinus arcsinx arkus tangens arctgx

39. Funkcije podane z grafom Funkcija f:ABje predpis, ki vsakemu elementu domene A priredi en element kodomene B. Krivulja v ravnini je graf neke funkcije če jo vsaka navpična premica seka največ enkrat.

40. Obratne funkcije f :AB Praslikaf-1(b)={a∈A| f(a)=b}(rešitve enačbe f(a)=b) Predpis b↦f -1(b)določa funkcijo, če imajo množice f -1(b)natanko en element za vse b∈B. Tedaj pravimo, da je fbijektivna, predpis f -1:BA, b↦f -1(b) pa je obratna (inverzna) funkcijaza f. f je surjektivna, če imajo f -1(b)vsaj en element. f je injektivna, če imajo f -1(b)največ en element. Funkcijo, ki ni bijektivna po potrebi popravimo s spremembo domene ali kodomene.

41. PRIMERI Eksponentna funkcija injektivna surjektivna Zožimo kodomeno na (0,+). exp: (0,+) je bijektivna. Obratna funkcija je exp-1=ln:(0,+) 

42. Zožitev je bijektivna. Obratna funkcija je strogo naraščajoča, ima vodoravni asimptoti y=±π/2 Tangens injektivna surjektivna

43. je bijektivna. Obratna funkcija je • Ločne funkcije (ciklometrične funkcije) • arcsin(x)‘arkus sinus’ • inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x) • definirana na intervalu[-1,1], zaloga vrednosti interval [-π/2,π/2 ]

44. Obratna funkcija ni elementarna funkcija.

45. Funkcijske enačbe, implicitne funkcije F(x,y)=0 f : AB je rešitevfunkcijske enačbe če je F(x,y)definirana za x∈A, y∈BinjeF(x,f(x))=0za vse x∈A. Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno. PRIMER

46. Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama 1 2a 2b 3a 3b 4

47. Zaporedja funkcij Taylorjevi približki za funkcijoarctg(x)

48. Fourierjevi približki za funkcijoarctg(x)