TWIERDZENIE O STYCZNEJ I SIECZNEJ

1. TWIERDZENIE O STYCZNEJ I SIECZNEJ

2. SIECZNA Prosta, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne nazywamy sieczną.

3. STYCZNA Prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nazywamy styczną. Styczna do okręgu, jest prostopadła do promienia, łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

4. TWIERDZENIE 1 Niech będzie dany okrąg o (O,r) oraz punkt P taki, że PO > r. Jeżeli przez punkt P poprowadzimy dwie proste: prostą k styczną do tego okręgu w punkcie A oraz prostą przecinającą okrąg o (O,r) w dwóch różnych punktach B i C, to AP²=BP*CP. · O

5. DOWÓD Rozważmy dwa trójkąty: APB i APC. Mamy: Kąt BCA ma taką samą miarę jak kąt PAB oparty na tym samym łuku. Natomiast kąt APB to wspólny kąt trójkątów APB i APC. Zatem na mocy cech kkk podobieństwa trójkątów otrzymujemy: trójkąt APB jest podobny do trójkąta APC. Zatem: czyli

6. TWIERDZENIE 2 Niech będzie dany okrąg o(O, r) oraz punkt P taki, że PO > r. Jeżeli przez punkt P poprowadzimy: sieczną k przecinającą dany okrąg w punktach A i B oraz sieczną l przecinającą okrąg w punktach C i D, to PA · PB = PC · PD . · O

7. DOWÓD Poprowadźmy przez punkt P prostą m styczną do danego okręgu w pewnym punkcie M. Z twierdzenia 1. zastosowanego do stycznej m i siecznej k otrzymujemy: PM ²= PA · PB . Stosując to samo twierdzenie do stycznej m i siecznej l, mamy: PM ² = PC· PD . Konsekwencją obu równości jest żądana równość PA · PB = PC· PD . Udowodnione wyżej twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeżeli punkt P spełnia warunek PO < r. M

8. TWIERDZENIE 3 Jest to twierdzenie o związkach miarowych odcinków przecinających się cięciw w okręgu (kole). Jeżeli cięciwy okręgu przecinają się w punkcie leżącym wewnątrz okręgu, to iloczyn odcinków każdej cięciwy, zawartych pomiędzy tym punktem i punktami przecięcia z okręgiem jest stały.|AM|∙|BM|=|CM|∙|DM|

9. Przykładowe zadanie Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu tak, że odcinki jednej z nich mają długość 8 cm i 6 cm, a odcinki drugiej pozostają w stosunku 2:3. Obliczyć długości odcinków A drugiej cięciwy. Rozwiązanie: |AP|∙|PB|= |PD|∙|CP| |CP| = |PD| |PD|∙|PD|=6∙ 8 |PD|2=48 ∙ |PD|2 = 72 |PD|>0 |PD|=6 |CP|= ∙6 = 4 Odp: 6 i 4 cm. |AP|=6cm |PB|=8cm |CP|:|PD|=2:3 • i

10. KONIEC Opracowała: Alicja Czuba kl. IIIe