Twierdzenie Pitagorasa

1. Twierdzenie Pitagorasa

2. Witam w krainie Trójkątlandii ! Nazywam się Trójkąt Prostokątny. Pewnie jesteście ciekawi jak wyglądam?

3. To ja ! Trójkąt prostokątny ! Moją cechą rozpoznawczą jest kąt prosty, czyli 90o Moje części ciała to: przyprostokątne i przeciwprostokątna

4. Mogę stać w różnych pozycjach ... Wskażcie proszę które to przyprostokątne, a które to przeciwprostokoątna

5. Najważniejsze jest to, że zawsze: • przyprostokątnesą przy kącie prostym. • przeciwprostokątnajest naprzeciw kąta prostego.

6. Trójkąt prostokątny Przeciwprostokątna c a b Przyprostokątne

7. A teraz zadanie dla Was… Przyjrzyjcie się podanym trójkątom i podajcie, które boki są przyprostokątnymi a które przeciwprostokątną

8. A teraz przejdźmy do twierdzenia Pitagorasa

9. Kim był Pitagoras Pitagoras był filozofem greckim, żyjącym w latach ok.582-507 p.n.e. Urodził się i żył na wyspie Samos, a następnie działał w Krotonie w Italii, gdzie założył religijno-filozoficzną szkołę. Pitagoras wprowadził pojęcie podobieństwa figur, dowiódł znanego twierdzenia dla trójkątów zwanego od Jego nazwiska, podał konstrukcję pewnych wielokątów i wielościanów jak np.heksaedru, dodekaedru, ikosaedru, oktaedru.Badając wielokąty odkrył niewspółmierność odcinków, złoty podział odcinka.Zajmował się także ze swymi uczniami własnościami liczb, przypisując im mistyczne znaczenie.

10. Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości jego przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości jego przyprostokątnych. c2 = a2 + b2

11. Ciąg dalszy dowodu Układając te trójkąty w taki sposób, jak wskazuje rysunek, otrzymamy pośrodku kwadrat c2. Stąd wniosek, że kwadrat o boku a + b, pomniejszony o 2ab, daje w pierwszym przypadku a2+b2, a w drugim c2 IV I c2 III II

12. Przypuszczalny dowód samego Pitagorasa Budujemy kwadrat, którego bok równa się sumie przyprostokątnych a i b danego trójkąta prostokątnego. Kwadrat ten dzielimy na dwa kwadraty: a2 i b2 oraz dwa równe prostokąty o bokach a i b Podzielimy ten prostokąt na cztery równe trójkąty prostokątne: I, II, III, IV. I a2 II IV b2 III c2 = a2 + b2

13. A teraz drugie ćwiczenie dla Was... r2=o2+p2 m2=a2+n2 |AC|2=|AB|2+|BC|2

14. Ciekawostki • Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość: 3, 4, 5, nazywamy trójkątem pitagorejskim. • Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest zawsze liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. • Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim. • Prostokąt, którego boki i przekątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. • W trójkątach prostokątnych równoramiennych przeciwprostokątna jest zawsze liczbą niewymierną.

15. Koniec Myślę, że wiele mogliście się nauczyć, o Twierdzeniu Pitagorasa... Teraz nie sprawi Wam to z pewnością żadnych trudności w dalszej nauce...