TWIERDZENIE PITAGORASA

TWIERDZENIE PITAGORASA

Spis treści: • Kim był Pitagoras? • Co to jest twierdzenie? • Układanka wprowadzająca do twierdzenia Pitagorasa. • Twierdzenie Pitagorasa • Dowód I • Dowód II • Twierdzenie odwrotne do tw. Pitagorasa • Trójkąt egipski i pitagorejski. • Zastosowanie w zadaniach: • Obliczanie długości przeciwprostokątnej • Obliczanie długości przyprostokątnej • Obliczanie odległości punktów • Sprawdzanie czy trójkąt jest prostokątny • Obliczanie długości przekątnej: prostokąta i kwadratu • Obliczanie długości wysokości w trójkącie • Obliczanie długości promienia okręgu wpisanego i opisanego • Konstrukcja odcinków o długościach wymiernych • Dyplom dla najlepszego ucznia

OGÓLNE WIADOMOŚCI O TWIERDZENIU. W matematyce często formułujemy zdania, wyrażające pewną prawdę matematyczną. Zdania te nazywamy twierdzeniami. Najczęściej twierdzenie ma postać zdania warunkowego. Na przykład w twierdzeniu: Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to ma przeciwległe kąty równe. – pierwsza część zdania, zaczynająca się po słowie „jeżeli”, nazywa się założeniem , druga, następująca po słowie „to” nazywa się tezą. W założeniu twierdzenia podajemy warunki, przy których ma być spełniona teza, tzn. podajemy informacje, które są nam znane. W tezie twierdzenia formułujemy własność, która ma być spełniona tzn. to co mamy udowodnić. W dowodzie twierdzenia korzystamy z tego, co jest dane w założeniu i przeprowadzamy rozumowanie, które doprowadza do wykazania tezy. W matematyce spotykamy się także z takim pojęciem jak aksjomat-jest to twierdzenie, które przyjmuje się bez dowodu. Spis treści

Pitagoras – to grecki matematyk i filozof. Żył w VI wieku p.n.e.Położył wielkie zasługi dla rozwoju matematyki, astronomii i fizyki. W mieście Krotonie założył na wpół tajemny związek znany pod nazwa pitagorejskiego. Związek przetrwał swego twórcę i działał przez następne 100 lat. Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najstarszych twierdzeń matematycznych. Znane było w starożytnym Babilonie, w Chinach, w Egipcie na długo przed Pitagorasem. Pierwsze dowody tego twierdzenia przypisuje się jednak pitagorejczykom. Spis treści

b a a c c b a b a b • Ta układanka jest stara jak świat. • Na pierwszym rysunku widać cztery jednakowe trójkąty prostokątne o bokach a, b i c ułożone w taki sposób, że wewnątrz powstał kwadrat o boku c.Na dolnym rysunku te same trójkąty zostały ułożone inaczej, tak że pojawiły się dwa mniejsze kwadraty. Te dwa mniejsze kwadraty mają taki samo pole, jak wewnętrzny kwadrat na górnym rysunku. • Jakie jest pole wewnętrznego kwadratu na górnym rysunku? • Zapisz wyrażenie, opisujące pola kwadratów na dolnym rysunku. • Czy dostrzegasz jakąś regułę? Spis treści

c a b TWIERDZENIE PITAGORASA Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat zbudowany na przeciwprostokatnej ma takie samo pole jak suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Lub inaczej: W trójkącie prostokątnym o bokach a, b i c, zachodzi równość c2=a2+b2 Spis treści

Dowód I ADC i ABC (ponieważ kąt A jest wspólny i trójkąty mają po jednym kącie prostym ). Stąd: BCD i ABC (kąt B jest wspólny i trójkąty mają po jednym kącie prostym). Stąd: B Obliczając proporcje otrzymamy: D A C Spis treści Dalej

Dowód I – ciąg dalszy Przez dodanie stronami równań otrzymujemy: Ponieważ: AC = b, BC = a, AB = c Stąd: a2 + b2 = c2 Co należało udowodnić. Spis treści

b a a c c b c c b a a b Dowód II Dowód – Przyjmijmy, że a, b są długościami przyprostokątnych rozważanego trójkąta, c –długością przeciwprostokątnej. Należy wykazać, że c2 = a2 + b2 . Rozważmy kwadrat o boku a+b, na każdym zaznaczmy odcinki a i b. Pole kwadratu o boku a+b jest sumą pola kwadratu o boku c oraz pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i b. Pole każdego takiego trójkąta prostokątnego wynosi: ½*a*b, zatem: Spis treści Dalej

Dowód II – ciąg dalszy ( a + b )2 = c2 + 4 *1/2* ab, a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab, a2 + b2 =c2 Co należało dowieść. Spis treści

Znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego możemy na podstawie twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć długość trzeciego boku tego trójkąta. Spis treści

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie długości boków: a, b, c są takie, że c2=a2+b2 totrójkąt jest prostokątny oraz a i b są przyprostokątnymi, a bok c jest przeciwprostokątną. Spis treści

Trójkątprostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi nazywamy trójkątem pitagorejskim. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 nazywamy trójkątem egipskim. Spis treści

c a b ZADANIE 1 Znając długości przyprostokątnych trójkąta,oblicz długość przeciwprostokątnej. a=3cm, b=4cm c=? c2=a2+b2 c2=32+42 c2=9+16 c2=25 c=5 Rozwiązanie: Odpowiedź:Długość przeciwprostokątnej wynosi 5cm. Spis treści

c a b ZADANIE 2 Oblicz długość przyprostokątnej, wiedząc że druga przyprostokątna wynosi 8cm, a przeciwprostokątna jest równa 10cm. c2=a2+b2 102=82+b2 b2=100-64 b2=16 b=4 Odpowiedź: Długość przyprostokątnej wynosi 4cm. ROZWIĄZANIE a=8cm, c=10cm b=? Spis treści

Rzutując punkty A i B na osie układu otrzymujemy trójkąt prostokątny, więc z tw. Pitagorasa : AB 2= AC 2 + BC 2 Z rysunku wynika, że: podstawiając do pierwszego wzoru otrzymamy: Y A Y1 y2 B C x1 x2 X ZADANIE 3 Oblicz odległość punktów A=(x1,y2),B=(x1,y2) ROZWIĄZANIE: Spis treści

Korzystając ze wzoru obliczonego w poprzednim zadaniu i po podstawieniu do niego danych otrzymamy: Odpowiedź: Odległość między punktami A i B wynosi ZADANIE 3a Oblicz odległość punktów A=(1,3), B=(3,-1). ROZWIĄZANIE: Spis treści

ZADANIE 4 Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 2, 4, 3 jest prostokątny? Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym to bok najdłuższy, więc oznaczmy c=3 , b=4, a=2 Podstawiamy dane do twierdzenia Pitagorasa i zgodnie z tw. odwrotnym do tw. Pitagorasa, jeżeli będzie zachodziła równość to trójkąt będzie prostokątny. c2=a2+b2 (3 )2=22+42 45=4+16 45=20 ROZWIĄZANIE: Odpowiedź:Ponieważ lewa strona nie równa się stronie prawej, to znaczy, że trójkąt o podanych bokach nie jest prostokątny Spis treści

ZADANIE 4 a Sprawdź, czy trójkąt o bokach: 25, 20, 15, jest prostokątny? ROZWIĄZANIE: c=25 b=20 a=15 Podstawiamy do wzoru Pitagorasa: c2=a2+b2 252=152+202 625=225+400 625=625 Odpowiedź: Ponieważ zachodzi równość, więc trójkąt o bokach 25, 20 i 15 jest prostokątny. Spis treści

Przekątna w prostokącie dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, więc możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa do policzenia długości przekątnej d. d2=a2+b2 d2=42+62 d2=16+36 d2=52 d= =2 d a b Odpowiedź:Długość przekątnej prostokąta wynosi 2 cm. ZADANIE 5 Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach a=4cm, b=6cm. ROZWIĄZANIE: Spis treści

Przekątna dzieli kwadrat na dwa równoramienne trójkąty prostokątne, więc możemy zastosować tw. Pitagorasa do obliczenia długości przekątnej. d2=a2+a2 d2=2a2 d2=2*52 d2=2*25 d= d a a a ODPOWIEDŹ: Przekątna kwadratu wynosi cm. ZADANIE 6 Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 5cm. ROZWIĄZANIE: Spis treści

ZADANIE 7 W trójkącie równoramiennym długość ramienia ma 6 cm, a podstawa 8 cm. Oblicz jego wysokość. a=6cm, b=8cm h=? Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, podstawa została podzielona na połowę. Do policzenia wysokości tego trójkąta zastosujemy tw. Pitagorasa. a2=h2+(1/2b)2 62=h2+42 h2=36-16 h= a h b Odpowiedź:Wysokość trójkąta wynosi cm. ROZWIĄZANIE: Spis treści

a a O a a r a ZADANIE8 Oblicz promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny, którego bok jest równy 6cm. Sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równoramiennych o boku równym bokowi sześciokąta foremnego. Promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt dzieli bok sześciokąta (trójkąta), na połowę i jest wysokością trójkąta równoramiennego. Do obliczenia promienia zastosować można tw. Pitagorasa. a=6cm a2=r2+(1/2a)2 r2=a2-1/4a2 r2=3/4*62 ROZWIĄZANIE: Spis treści Dalej

r2=3/4*36 r2=27 r=3 3 Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 3 3 cm. ciąg dalszy zadania 8 Spis treści

a a r a O ZADANIE 9 Oblicz promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, którego bok jest równy 6cm. ROZWIĄZANIE: Sześciokąt foremny można podzielić na sześć trójkątów równoramiennych o boku równym bokowi sześciokąta foremnego. Promień okręgu opisanego na tym sześciokącie jest równy długości boku sześciokąta. Jeżeli więc: a=6cm, to r=6cm. Odpowiedź: Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy bokowi tego sześciokąta, czyli 6cm. Spis treści

1 1 1 2 1 1 1 1 ZADANIE 10 Narysuj odcinki, których długość jest pierwiastkiem kolejnych liczb naturalnych. ROZWIĄZANIE: Rysunek przedstawia metodę rysowania odcinków, będących pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych. Wszystkie trójkąty prostokątne jedną przyprostokątną mają o długości 1 (pierwszy drugą również). Wykorzystując wzór Pitagorasa liczymy długość przeciwprostokątnej. W ten sposób można skonstruować odcinek o dowolnej długości. Spis treści

Matematyka Jest alfabetem, przy pomocy którego Bóg opisał wszechświat. Galileusz Niniejszym nadajemy ................................................................. honorowy, dożywotni tytuł Pitagorejczyka W zastępstwie Pitagorasa Nauczyciel matematyki ................................................ Spis treści

TWIERDZENIE PITAGORASA