Peluang Diskrit

1. PeluangDiskrit

2. Teori peluang banyak mengunakan konsep-konsep kombinatorial • Teori probabilitas di kembangkan pertama kali di Perancis oleh Blaise Pascal dan dikembangkan oleh Laplace • Dipergunakan meluas ke berbagai bidang ilmu yang lainnya.

3. Blaise Pascal • Born June 19, 1623Clermont-Ferrand, France Died August 19, 1662 (aged 39) Paris, France • Memenangkantaruhantentanghasiltosduadadu yang dilakukanberulang-ulang

4. Pierre-Simon Laplace • Born 23 March 1749 Beaumont-en-Auge, Normandy, France • Died 5 March 1827 (aged 77) Paris, France • Mempelajaripeluangdalamjudi

5. Definisi • RuangSampeladalahhimpunandarisemuahasilygmungkinmuncul pd suatupercobaan. • Ruangsampeldilambangkandengan S • Anggotadarihimpunan S disebuttitiksampel • Ex: Ruangsampelpadaangkaygmuncul pd pelemparan 1 dadu • S={1,2,3,4,5,6} • 1= titiksampel

6. Definisi • Misalkan xi adalahtitiksampel di dalamruangsampel S, makapeluangbagi xi atau P(xi) adalahukurankemungkinanterjadinya xi diantaratitik-titiksampel yang lain • 0 ≤ P(xi) ≤ 1adalah nilaipeluang • Jumlahpeluangsemuatitiksampeldalamruangsampel =1 • S={1,2,3,4,5,6} maka • P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1

7. Finite probability • Kejadianadlhimpunanbagiandarisampel (S) • Disimbolkan dg E • Kejadiansederhana (Simple Event) adalahkejadian yang hanyamengandungsatutitiksampel • Ex Padapercobaanmelempar 1 dadu, kejadian yang munculangkalebihdari 5  E={6} • percobaan yang sama, kejadian yang munculangkakurangdari 2  E=?

8. Finite probability • KejadianMajemuk (Compound Events) adlkejadian yang mengandunglebihdarisatutitik. • Ex Padapercobaanmelempar 1 dadu, kejadian yang munculangkalebihdari 3  E={4,5,6} • Padapercobaanmelempar 1 dadu, kejadian yang munculangkaGanjil E={1,3,5}

9. Menghitungpeluang • Peluangkejadian E diruangsampel S adalah • P(E)=|E|/|S| • Ex Berapakahpeluangmunculnyaangkagenap pd pelemparandadu? • Solusi, S={1,2,3,4,5,6} , E={2,4,6} • P(E)=|E|/|S| 3/6 = 1/2

10. Latihan (1) • Jikaadasebuahdadudilempar, berapakahpeluangmunculfaktorpembagiangka 4 ? • Jikakarturemidiambil 1, berapakahpeluangmunculnyakartu king? • Jikakarturemidiambil 1, berapakahpeluangmunculnyakartu As Wajik?

11. KombinasiKejadian Jikasebuahkentongberisi 4 buahkelerengmerahdan 3 buahkelerengputih. Tentukanpeluangterambilsekaligus 2 kelerengmerah! C(4,2)/C(7,2)

12. PeluangKondisional • Jikasuatuuanglogamdilemparkantiga kali, dankedelapankeluaranmemilikikemungkinan yang sama.Misalkankitatahubahwakejadian F, yaitupelemparanpertamamenghasilkanmuka, terjadi.Berapakahpeluangkejadian E, yaitubagianmukaakanmunculsejumlahganjil? • Karenahasilpelemparanpertamaadalahmuka, makakeluaran yangmungkinadalah MMM, MMB, MBM, dan MBB. Kemunculanmukadalamjumlahganjilterjadisebanyakdua kali. • Maka, peluang E, dengansyarat F terjadi, adalah 0.5. • InidinamakanPeluangKondisional.

13. PeluangKondisional • Untukmemperolehpeluangkondisionaldarikejadian E diberikan F, digunakan • (a) F sebagairuangsampel, dan • (b) setiapkeluarandari E yang munculharusjugaberadadalam E  F. • Definisi. • Misalkan E dan F kejadiandengan p(F) > 0.Peluangkondisionaldari E diberikan F, dinotasikanoleh p(E | F), didefinisikansebagai • p(E | F) = p(E  F)/p(F)

14. Contoh Suatu string bit denganpanjang 4 dibangunsecaraacaksehinggasetiap 16 string denganpanjang 4 memilikikemungkinan yang sama. Berapakahpeluang string memuat paling sedikitduaangka 0 yang berurutan, diberikanbahwa bit pertamanyaadalah 0 ?

15. Solusi Misalkan E: kejadianbahwa string memuat paling sedikitduaangka 0 yang berurutan. F: kejadianbahwa bit pertamadari string adalah 0. E  F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} p(E  F) = 5/16 p(F) = 8/16 = 1/2 p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625

16. Mutual Exclution (Salinglepas) • Bila A dan B adalahduakejadiansembarang yang berlaku A  B= 0, makadikatakan A & B duakejadian yang Mutual exlution(SalingLepas) • Kejadian Mutual exclutionartinyakejadian A dan B tidakmungkinterjadibersamaan.

17. Mutual Exclution (Salinglepas) • Karenasalinglepasmaka|A  B| = 0, sehingga • p(A  B) = p(A)+ p(B) • Untuk himpunan yang tidaksalinglepas: • p(A  B) = p(A)+ p(B) – p(A B)

18. Independensi (Salingbebas) • Kejadian dikatakan Independen (Saling Bebas) jika p(B|A) = P(B) • Maka • p(A  B) = p(A).p(B)  independent • p(A  B) = p(A).p(B|A)  dependent

19. Contoh • PadapelemparanduakoinbersamaanBerapakahpeluangkeluarnyakoinpertamasisiDepandankoin ke-2 sisiBelakang

20. Solusi • Kejadiantersebutsalingbebas • A = koin 1 Muka • B = Koin 2 Belakang • P(A)=1/2 • P(B)=1/2 • P(A B)=1/2.1/2=1/4

21. Contoh 2 • Dalam 1 kantongterdapat 4 bola merahdan 3 bola biru. Dilakukanpengambilan bola satu –persatusebanyak 2 kali. Hitungpeluangterambilkeduanya bola merahjikapadapengambilanpertama bola tidakdikembalikanlagikekantong

22. Solusi • A : kejadianpengambilan bola pertama • B : kejadianpengambilan bola kedua • P(A dan B) = P(A) . P(B) = 4/7 . 3/6  P(A) . P(B|A) = 12/42 (dependent)

23. PercobaanBernouli Misalkansuatueksperimenhanyamemilikiduakeluaran yang mungkin. Contoh.pelemparansebuahkoin. Setiappelaksanaansuatueksperimen yang demikiandisebutPERCOBAAN BERNOULLI. Secaraumum, keduakeluaran yang mungkintadidisebutkesuksesanataukegagalan. Jika p adalahpeluangsuksesdan q peluanggagal, jelas p + q = 1.

24. TeoremaBernuolli Peluang k suksesdalam n percobaan Bernoulli yang salingbebas, denganpeluangsukses p danpeluanggagal q = 1 – p, adalah C(n, k) pkqn-k. Inidinotasikandenganb(k; n, p). Jika b dipandangsebagaifungsidari k, maka b dikatakansebagaidistribusi binomial.

25. Ilustrasi Misalkan ‘S’: suksesdan ‘F’: gagal, denganpeluangsukses p danpeluanggagal q = 1 – p. Berapakahpeluangdariduasuksesdalam lima percobaan Bernoulli yang salingbebas? Lihatsalahsatubarisankeluaran yang mungkin: SSFFF Berapakahpeluangkitaakanmembangunbarisanini?

26. Ilustrasi • Barisan: S S F FF • Peluang: P P Q QQ = P²Q³ • Barisan lain ygmungkin • Barisan: F S F S F • Peluang: Q P Q P Q = P²Q³ • Setiapbarisandenganduasuksesdalamduapercobaanterjadidenganpeluang p2q3.

27. Ilustrasi Sekarang, adaberapabanyakbarisan yang mungkin? Dengankata lain, adaberapacarauntukmemilihduaobyekdaridaftar yang berisi lima obyek? Ada C(5, 2) = 10 cara, sehinggaterdapat 10 barisan yang mungkin, setiapbarisanterjadidenganpeluang p2q3. Maka, peluangsalahsatudaribarisantersebutmunculpadasaatmelakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p2q3. Secaraumum, untuk k suksesdalam n percobaan Bernoulli, kitamemilikipeluangC(n,k) pkqn-k.

28. Contoh Sebuahdadudilempar 6 kali berturut-turut. Carilah (a) p(muncultepatempatangka 1). (b) p(tidakadaangka 6 yang muncul).

29. Jawab (a) Iniadalahcontohdarisuatubarisandenganenampercobaan Bernoulli yang salingbebas, dimanapeluangsuksesadalah 1/6 danpeluanggagal 5/6. Karenaitu, peluangmuncultepatempatangka 1 padasaatdadudilemparkan 6 kali adalah (b) Dalamkasusinisuksesadalahkemunculanangkaselain 6, yang memilikipeluang 5/6 dangagaladalahkemunculanangka 6, yang peluangnya 1/6. Makapeluangtidakadaangka 6 yang munculpadasaatdadudilemparkan 6 kali adalah

30. Latihan (2) Dari 100 orang mahasiswa PTIIK yang hadir dalam sebuah diskusi 80 orang laki-laki dan 20 orang perempuan. Diantara mahasiswa pria terdapat 35 orang yang memakai jaket almamater (pja) dan 45 orang tidak memakai jaket tersebut (ptja) dan diantara mahasiswa wanita terdapat 8 orang yang memakai jaket almamater (wja) dan 12 orang yang tidak memakainya(wtja). Kita ingin memilih salah seorang mahsiswa tersebut sebagai notulen. Berapakah peluang diskrit untuk masing-masing mahasiswa tersebut?

31. Latihan (3) • Diantara 100 bilangan bulat positif pertama, berapa peluang memilih secara acak sebuah bilangan yang habis dibagi 3 dan 5?

32. TERIMA KASIH