1 / 65

10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT. 10.1 Pendahuluan Kombinatorial ( combinatoric ) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek . Solusi yang ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam

kali
Download Presentation

10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

  2. 10.1 Pendahuluan Kombinatorial (combinatoric) adalahcabang matematika yang mempelajaripengaturan objek-objek. Solusi yang ingindiperolehadalahjumlahcara pengaturanobjek-objektertentudidalam himpunannya. Tigacontohberikutdapat memperjelasmasalah yang menyangkut Kombinatorial i) Misalnomor plat mobildinegar X terdiriatas 5 angka yang diikutioleh 5 huruf. Angka pertamatidakboleh 0. Berapabanyaknomor plat mobil yang dapatdibuat?

  3. ii) Sandi-lewat (password) sistemkomputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakter bolehberupahurufbesarataukecilatauangka. Berapabanyaksandi-lewat yang dapatdibuat? iii) Dari 20 anggotafraksi X di DPR akandibentuk sebuahkomisi yang beranggotakan 65 orang. Berapabanyakcaramemilihanggotakomisi bilaseoranganggota yang bernama A harus termasukdidalamkomisitersebut? Cara konvensional yang dapatditempuhuntuk menyelesaikanpersoalandiatasadalahdengan mengenumerasiseluruhkemungkinanjawaban.

  4. Mengenumerasiberartimencacahataumenghitung satu per satusetiapkemungkinanjawaban. Jikajumlahobjeksedikitkitamasihmungkinmelakukanenumerasiterhadapkemungkinanjawaban yang ada. Tapijikaukutanobjeknyabesarmakamelakukanenumerasiterhadapseluruhkemungkinanjawabanmenjaditidakefisien, karenamembutuhkanwaktu yang banyak, ditambahlagikemungkinankesalahanlebihbesar. Untukukuranobjek yang besarkitaperlumenggunakansuatucara yang lebihefisien. Cara tsb. dikenaldengan “Kombinatorial”.

  5. 10.2 Percobaan Kombinatorialdidasarkanpadahasil yang diperolehdarisuatupercobaan (experiment). Percobaanadalahprosesfisik yang hasilnyadapatdiamati. Contoh-contohpercobaandanhasilnya. Melempardadu Hasilpercobaan yang mungkindariprosesmelempardaduadalah 6 kemungkinan, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. ii) Melemparkoin Hasilpercobaanmelemparsebuahkoinmenghasilkan 2 kemungkinan, yaitumukaataubelakang.

  6. iii) Memilih 5 orangwakildari 100 mahasiswa. Hasil yang diperolehadalahperwakilan yang beranggotakan 5 orangmahasiswa. Kemungkinanperwakilan yang dapatdibentukcukupbesar, sehinggasulituntudilakukanprosesenumerasi. iv) Menyusunjumlahkata yang panjangnya 5 huruf yang dapatdibentukdarihuruf-huruf a, b, c, d, e dantidakbolehadahuruf yang berulang. Hasil yang diperolehadalahuntai (string) yang tersusunatashuruf-huruftersebut, misalnya, abcde, abced, acdeb, …

  7. 10.3 Kaidahdasarmenghitung Duabuahkaidahdasarmenghitungdalambidangkombinatorialadalahkaidahperkalian (rule of product) dankaidahpenjumlahan (rule of sum). KaidahPerkalian (Rule of Product) Bilapercobaan 1 mempunyaiphasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilpkemungkinanjawaban), percobaan 2 mempunyaiqhasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilqkemungkinanjawaban), makabilapercobaan 1 dan2 dilakukanakanterdapatpxqhasilpercobaan (menghasilkanpx qkemungkinanjawaban).

  8. KaidahPenjumlahan (Rule of Sum) Bilapercobaan 1 mempunyaiphasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilpkemungkinanjawaban), percobaan 2 mempunyaiqhasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilqkemungkinanjawaban), makabilahanyasatupercobaansaja yang dilakukan ( percobaan 1 ataupercobaan 2), makaterdapatp + qkemungkinanhasilpercobaan (menghasilkanp +qkemungkinanjawaban).

  9. Perhatikankatadanpadaaturanperkaliansertakataataupadaaturanpenjumlahan. Keduakatainiadalahkunciuntukmengidentifikasiapakahsuatupersoalanmenghitungdiselesaikandengankaidahperkalianataupenjumlahan. Kaidahperkalianberartimenyatakanbahwakeduapercobaandilakukansecarasimultanatauserentak. Sedangkankaidahpenjumlahankeduapercobaandilakukansecaratidaksimultan. Contohberikutmemperlihatkanpenggunaankaidahperkaliandanpenjumlahanuntukmenghitungpengaturanobjek-objek. Kita harusdapatmenganalisiskapanmenggunakankaidahperkaliandankapanmenggunakankaidahpenjumlahan.

  10. Contoh 10. 1 Sebuahrestoranmenyediakan lima jenismakanan, yaitu, nasigoreng, roti, sotoayam, sate, dan sop. Sedangkanminumantersediasusu, kopi, danteh. Jikasetiaporangbolehmemesansatujenismakanan dansatujenisminuman, berapabanyakpasangan makanandanminuman yang dapatdipesan? Penyelesaian: Untukmembantupenyelesaian, kitadapat menggunakan diagram pohonuntukmenentukan jumlahpasanganmakanandanminuman

  11. Kemungkinanmakanan danminuman yang dapat dipesanadalah: Nasigorengdansusu Nasigorengdan kopi Nasigorengdanteh Rotidansusu Rotidan kopi Rotidanteh Soto ayamdansusu Soto ayamdan kopi Soto ayamdanteh Sate ayamdansusu Sate ayamdan kopi Sate ayamdanteh Sop ayamdansusu Sop ayamdan kopi Sop ayamdanteh susu susu susu susu susu Nasigoreng kopi kopi kopi kopi kopi teh teh teh teh teh Roti Soto ayam Sate Sop Jumlahpasangan = 15

  12. Contoh 10. 2 JabatanKetuaHimpunandptdidudukiolehmahasiswaangkatan 2007 atauangkatan 2008. Jikaterdapat 45 orangmahasiswaangkatan 2007 dan 52 orangmahasiswaangkatan 2008, berapacaramemilihjabatanketuahimpunan? Penyelesaian: Jabatan yang tersediahanyasatu yang dapatdidudukiolehsalahsatumahasiswadarikeduaangkatan. Karenaada 45 mahasiswadariangkatan 1997, berartiada 45 kemungkinanuntukmemilihmahasiswadariangkatantersebut. Sedangkanuntukmemilihsalahsatumahasiswaangkatan 1998 terdapat 52 kemungkinan. Jadijumlahcarauntukmemilihsalahsatudarikeduaangkatantsb. adalah 45 + 52 = 97 cara

  13. Contoh 10. 3 Sekelompokmahasiswaterdiridari 4 orangmahasiswadan 3 orangmahasiswi. Berapajumlahcarauntuk memilih: Seorangmahasiswadanseorangmahasiswidari kelompoktersebut? b. Seorangmahasiswaatauseorangmahasiswidarikelompoktersebut? Penyelesaian: MisalmahasiswaterdiridariA, B, C, danD. MahasiswiterdiridariK, L, danM. a. Jumlahcarauntukmemilihseorangmahasiswadanseorangmahasiswiadalah 4 x 3 = 12 cara. b. Jumlahcarauntukmemilihsatuorangmahasiswaatau mahasiswiadalah 4 + 3 = 7 cara

  14. Contoh 10. 4 Misalhimpunan A = {a, b, c} danhimpunan B = {1, 2, 3}. Berapabanyakpasanganterurut (ordered pairs) yang dapatdibentukdarianggotahimpunan A dananggotahimpunan B? Penyelesaian: Jumlahpasangan yang dapatdibentukadalah: R = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} atau 3 x 3 = 9 cara

  15. 10.4 PerluasanKaidahmenghitung Kaidakperkaliandanpenjumlahandapatdiperluashinggamengandunglebihdariduapercobaan. Jika n buahpercobaanmasing-masingmempunyai p1, p2, … , pn, hasilpercobaan yang mungkinterjadi yang dalamhalini pitidakbergantungpadapilihansebelumnya, makajumlahhasilpercobaan yang mungkinterjadiadalah: p1 x p2 x p1 x p2 x … x pnuntukkaidahperkalian. p1 + p2 + p1 + p2 +…+ pnuntukkaidahpenjumlahan

  16. Contoh 10. 5 Jikaterdapat3 pertanyaanyang masing-masingmempunyai2 pilihanjawaban (S atau B), berapakahkemungkinankombinasijawaban yang dapatdibuat? Penyelesian: B B B B S S B S B B S S S S 23 = 8 kemungkinan

  17. Contoh 10. 6 Berapabanyakkata yang terdiridari 5 huruf yang dibentukdarihuruf-huruf a, b, c, d, e jikatidakbolehadahuruf yang berulang. b) Berapabanyakkata yang terdiridari 5 huruf yang dibentukdarihuruf-huruf a, b, c, d, e jikapengulanganhurufdiperbolehkan. c) Berapabanyakjumlahkatapada a) yang diawalihuruf a. d) Berapabanyakjumlahkatapada a) yang tidakdiawalihuruf a. Penyelesaian:

  18. Contoh 10. 7 Dari 6 soalujianpilihanganda, terdapat 4 pilihan Jawaban, yaitua, b, c, d, ataue. Berapacarapilihanjawaban yang mungkindipilih olehmahasiswajikaseluruhsoalharusdijawab? b. Berapacarapilihanjawaban yang mungkindipilih olehmahasiswajikamahasiswabolehtidak menjawabsoal? Penyelesaian:

  19. Penyelesaian: Potongan program mempunyai m buahkalang (loop). Setiapkalangkei (i = 1, 2, 3, …, m) dieksekusisebanyakni kali dandieksekusitidakbersamaan Contoh 10. 8 Berapanilaiksesudah potongan program berikutdieksekusi? k = 0 for p1 = 1 to n1 do k = k + 1 for p2 = 1 to n2 do k = k + 1 for p3 = 1 to n3 do k = k + 1 ⋮ for pm = 1 to nm do k = k + 1 Padasetiapkalangnilai k selaluditambah 1. Kalangpertamamenghasilkan k = n1 Kalangkeduamenghasilkan k = n2 Kalangketigamenghasilkan k = n3 Kalangke-m menghasilkan k = nm Nilai k padaakhir program adalah k = n1 + n2 + n3 + … + nm

  20. Contoh 10. 9 Berapanilaiksesudah potongan program berikutdieksekusi? k = 0 for p1 = 1 to n1 do for p2 = 1 to n2 do for p3 = 1 to n3 do k = k + 1 Penyelesaian: Potongan program mempunyai m buahkalang (loop) bersarang (nested). Setiapkalangkei (i = 1, 2, 3) dieksekusisebanyakni kali dandieksekusisecarabersamaan Padaakhirkalangketiga, nilai k menjadi n3. Padaakhirkalangkedua, nilai k menjadi atau n3 . n2 Padaakhirkalangpertama, nilai k menjadi atau n3 . n2 . n1

  21. 10.5 PrinsipInklusi-Ekslusi Teorema Misal A1 , A2 , … Anadalahhimpunanberhingga, maka:

  22. n = 2 • |A1⋃ A2| = |A1| + |A2| – |A1⋂ A2| S A2 A1

  23. n = 3 • |A1⋃ A2 ⋃ A3 | = |A1| + |A2| + |A3| – |A1⋂ A2| – |A1⋂ A3| – |A2⋂ A3| + |A1⋂ A2 ⋂ A3| S A1 A2 A3

  24. n = 4 A1 S A2 A3 A4

  25. Contoh 10.10 Tentukanbanyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 yang dapatdibagi 3 atau 8. Penyelesaian: Banyakbilangan = S = 155 – 71 + 1 = 85 Misal : |A| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi3 |B| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi8 |A⋂B| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi3 dan 8 |A⋃B| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi3 atau 8

  26. Ingat!

  27. S B A 24 4 7 50

  28. Contoh 10.11 Tentukanbanyakbilanganmulaidari 991 sampaidgn 1342, yang : habisdibagi 8 atau 11 habisdibagi 8 dan 11 habisdibagi 8, tapitidakhabisdibagi 11 habisdibagi 11, tapitidakhabisdibagi 8 tidakhabisdibagi 8 dan 11 Penyelesaian: Banyakbilangan = S = 1342 – 991 + 1 = 352

  29. Misal : |A| = banyakbilanganmulaidari 991 sampaidengan 1342 habisdibagi8 |B| = banyakbilanganmulaidari 991 sampaidengan 1342 habisdibagi11 |A⋂B| = banyakbilanganmulaidari 991 sampaidengan 1342 habisdibagi8 dan 11 |A⋃B| = banyakbilanganmulaidari 991 sampaidengan 1342 habisdibagi8 atau 11

  30. S B A 41 3 26 282 a.

  31. S B A 41 3 26 282 b.

  32. S B A 41 3 26 282 c. habisdibagi 8, tapitidakhabisdibagi 11 = 41

  33. S B A 41 3 26 282 d. habisdibagi 11, tapitidakhabisdibagi 8 = 26

  34. S B A 41 3 26 282 e. tidakhabisdibagi 8 dan 11 = 282

  35. 10.6 Permutasi ( 2 objek) 1 2 1 2 1 2 Pengaturan 2 objek yang berbedamenghasilkan 2 urutan yang berbeda

  36. 10.6 Permutasi ( 3 objek) 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 Pengaturan 3 objek yang berbedamenghasilkan 6 urutan yang berbeda 1

  37. 10.6 Permutasi ( 4 objek) 4 1 4 4 3 1 3 3 2 2 2 1 1 4 4 4 3 1 3 3 1 3 3 3 2 2 2 1 1 4 4 4 4 3 1 2 3 1 3 3 1 2 2 2 2 1 2 1 4 4 4 2 1 3 3 3 2 2 1 1 2 4 4 4 Pengaturan 4 objek yang berbedamenghasilkan 24 urutan yang berbeda

  38. Kesimpulan: Dalammelakukanpengaturan: 2 objekberbedamenghasilkan 2 urutan yang berbeda 3 objekberbedamenghasilkan 6 urutan yang berbeda 4 objekberbedamenghasilkan 24 urutan yang berbeda, ataudapatditulismenjadi: 2 objekberbedamenghasilkan 2! urutan yang berbeda 3 objekberbedamenghasilkan 3! urutan yang berbeda 4 objekberbedamenghasilkan 4! urutan yang berbeda Berartidalammelakukanpengaturannobjek yang berasaldari n objek yang berbedamenghasilkann!urutan yang berbeda

  39. Contoh 10.11 Berapabanyakkata yang dapatdisusundarikata “STMIK”? Penyelesaian: Jumlahhuruf 5. Jadijumlahkata yang dapat disusundarikata “STMIK” adalah 5! = 120 buahkata Contoh 10.12 Berapabanyakcaramengurutkan 7 orangmahasiswa? Penyelesaian: Terdapat 7! carauntukmengurutkan 7 orang mahasiswa, yaitu 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 840 cara

  40. Pengaturan r objekberbedadari n objek yang berbeda. Misalkitaakanmelakukanpenyusunan 2 objekberbedadari 5 objek yang berbeda. 1 4 1 1 5 1 3 2 2 1 1 2 3 2 4 2 2 3 5 3 2 3 1 4 5 3 4 3 4 4 5 3 2 4 1 5 4 4 5 5 5 3 2 5 1 Pengaturan 2 objekberbedadari 5 objek yang berbedamenghasilkan 20 urutan yang berbeda.

  41. Misalkitaakanmelakukanpenyusunan 3 objekberbedadari 5 objek yang berbeda.

  42. 1 2 3 4 5 5 1 1 4 1 1 4 1 1 3 2 5 4 1 4 5 4 1 1 5 4 5 4 1 4 1 1 4 3 4 5 2 5 5 2 4 2 3 5 2 5 2 3 2 2 2 2 3 3 5 2 2 3 4 3 5 3 3 3 3 2 5 2 3 5 3 3 4 2 2 4 5 2 3 1 5 2 1 1 5 4 3 4 3 1 5 3 4 4 3 1 4 3 4 1 5 2 2 4 5 1 5 5 5 1 2 2 1 4 5 1 1 3 4 2 2 3 3 4 1 2 3 2 1 4 5 3 2 4 1 2 5 3 5 1 5 1 5 2 2 2 1 4 4 1 4 5 4 3 4 3 5 1 2 3 1 4 2 3 3 4 1 1 4 3 4 5 2 3 3 4 1 4 4 1 5 2 5 5 5 Pengaturan 3 objekdari 5 objek yang berbeda menghasilkan 60 urutan yang berbeda.

  43. Jikakitasusun 4 objekberbedadari 5 objekygberbeda, makaakandidapat 120 susunanobjek yang berbeda. Kesimpulan: Susunan 2 objekberbedaberasaldari 5 objek yang berbedamenghasilkan 20 urutanberbeda = 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5)/6 = 5! / 3! = 5! / (5 – 2)! Susunan 3 objekberbedaberasaldari 5 objek yang berbedamenghasilkan 60 urutanberbeda = 3 x 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 )/ 2 = 5! / 2! = 5! / (5 – 3)! Jikadilanjutkanuntuksusunan 4 objekberasaldari 5 objek yang berbedaakanmenghasilkanjumlahurutanberbeda 2 x 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5) / 1 = 5!/1! = 5! / (5 – 4)!

  44. Jikadilanjutkanuntuksusunanrobjekberasaldarinobjek yang berbedaakanmenghasilkanjumlahurutanberbeda, n! / (n – r)! Penyusunanrobjekberbeda yang berasaldarinobjek yang berbedamerupakanpermutasirdarinobjekdandapatditulisdengan P(r, n).

  45. Contoh 10.13 Jajarankursipadasebuahbioskopdisusunsecara berbaris yang terdiridari 6 kursi per baris. Jikaduaorangakandudukpadasuatubaristertentu, berapabanyakkemungkinansusunan yang terjadi? Penyelesaian: n = 6 ; r = 2 P(n, r) = n!/ (n – r)! P(6, 2) = 6!/ (6 – 2)! = 6!/ 4! = 30

  46. Permutasimelingkar Permutasimelingkaradalahpermutasi yang disusunmengikutigeometrilingkaran. Sedangkanpermutasidisusunmengikutigeometrigarislurus Permutasimelingkarlebihditekankanpadatetanggadarimasing-masingobjek. Rumuspermutasimelingkar = (n – 1)! Sebagaicontoh: Padagambarberikutterdapat 4 objekdiskrit yang mengelilingimeja.

  47. Tetangga: Kanandariobjekmerahadalahungu Kiridariobjekmerahadalahbiru Kanandariobjekbiruadalahmerah Kiridariobjekbiruadalahhijau Kanandariobjekhijauadalahbiru Kiridariobjekhijauadalahungu Kanandariobjekunguadalahhijau Kiridariobjekunguadalahmerah

  48. Perhatikan

More Related