130 likes | 312 Views
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 11. Goniometrische formules. x P = cos( α ) en y P = sin( α ) x Q = x P en y Q = y P Dus sin(- α ) = y Q = -y P = -sin( α ) en cos(- α ) = x Q = x P = cos( α ) x R = - y P y R = x P sin( α + ½ π ) = y R = x P = cos( α )
E N D
Goniometrische formules • xP = cos(α) en yP = sin(α) • xQ= xP en yQ = yP • Dus • sin(-α) = yQ = -yP = -sin(α) en • cos(-α) = xQ = xP = cos(α) • xR = -yP • yR = xP • sin(α + ½ π) = yR = xP = cos(α) • cos(α + ½ π) = xR = -yP = -sin(α) 11.1
Goniometrische vergelijkingen sin(A) = sin(B) geeft A = B + k · 2π⋁ A = π – B + k · 2π cos(A) = cos(B) geeft A = B + k · 2π⋁ A = -B + k · 2π 11.1
Lijn- en puntsymmetrie • De grafiek van f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a. • Voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p). • De grafiek van de functie f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a • als voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p). • De grafiek van f is puntsymmetrisch in het punt (a, b). • Voor elke p geldt f(a – p) – b = b – f(a + p) • of • f(a – p) + f(a + p) = 2b. • De grafiek van de functie f is puntsymmetrisch in het punt (a, b) • als voor elke p geldt f(a – p) + f(a + p) = 2b. 11.1
De afgeleide van sinus, cosinus en tangens • f(x) = sin(x) geeft f’(x) = cos(x) • g(x) = cos(x) geeft g’(x) = -sin(x) • f(x) = sin(ax + b) geeft f’(x) = a cos(ax + b) • g(x) = cos(ax + b) geeft g’(x) = -a sin(ax + b) • f(x) = tan(x) geeft f’(x) = • en f’(x) = 1 + tan2(x). 11.2
opgave 28 [cos(x)]’ = [sin(x + ½π)]’ = cos(x + ½π) = -sin(x) 11.2
Primitieven van sinus en cosinus • De primitieven van f(x) = sin(x) zijn F(x) = -cos(x) + c • De primitieven van g(x) = cos(x) zijn G(x) = sin(x) + c • De primitieven van f(x) = sin(ax + b) zijn F(x) = cos(ax + b) + c • De primitieven van g(x) = cos(ax + b) zijn G(x) = sin(ax + b) + c 11.3
opgave 50 f(x) = sin(2x) met domein [0, ½π] I(L) = 11.3
Eenparige cirkelbeweging • Doorloopt het punt P met hoeksnelheid ω de cirkel met middelpunt (a, b) • en straal r en bevindt P zich op t = 0 in het punt (a + r, b), • dan hoort hierbij de parametervoorstelling • De omlooptijd van P is T = • Het punt P voert een eenparige cirkelbeweging uit. • Bijpositieve hoeksnelheid draait Ptegen de wijzers van de klok in • en bij negatieve hoeksnelheid draait Pmet de wijzers van de klok mee. • Bevindt Q zich op t = 0 in het punt (a + r, b), • dan horen bij Q de bewegingsvergelijkingen • xQ = a + r cos(ω(t – t0) en yQ = b + r sin(ω(t – t0)). xP= a + r cos(ωt) yP = b + r sin(ωt) 11.4
opgave 56 x= -1 + 2 cos(t) y = 3 + 2sin(t) De pv van de baan van P is a Op t = 0 is P in (1, 3). P draait linksom. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt (-1, 3) en straal 2. bx = 0 geeft -1 + 2 cos(t) = 0 cos(t) = ½ t = ⅓π + k· 2π⋁ t = -⅓π + k· 2π t op [0, 1½π] geeft t = ⅓π yA = 3 + 2 sin(⅓π) = 3 + 2 · = 3 + , dus A(0, 3 + ) 11.4