vwo A Samenvatting Hoofdstuk 15

1. vwo A Samenvatting Hoofdstuk 15

2. Hypothesen toetsen • Een fabrikant van tennisballen maakt ballen waarvan het gewicht X in gram • normaal verdeeld is met µ = 58 en σ = 2. • Er is een nieuwe productiemethode ontwikkeld die goedkoper is en die volgens • de afdeling research geen invloed heeft op het gewicht van de tennisballen. • Een afnemer van de tennisballen twijfelt aan deze bewering. • Je hebt hier te maken met twee hypothesen: • H0 : µ = 58 (de nieuwe productiemethode heeft geen invloed op het gewicht) en • H1 : µ ≠ 58 (de nieuwe methode beïnvloedt het gewicht). • Bij het toetsen van hypothesen doe je op grond van een steekproefresultaat • een uitspraak over het al dan niet verwerpen van H0. 15.1

3. Belangrijke begrippen • nulhypothese H0 : µ = 58 • alternatieve hypothese H1 : µ ≠ 58 • toetsingsgrootheid = het steekproefgemiddelde • beslissingsvoorschrift Verwerp H0 als ≤ gl of ≥ gr. • significantieniveau α De kans dat H0 ten onrechte verworpen wordt • is hoogstens α, ofwel • P( ≤ gl of ≥ gr) ≤ α bij 15.1

4. Overschrijdingskans • Op grond van een steekproefresultaat besluit je H0 al dan niet te verwerpen. • Er zijn twee situaties te onderscheiden. • Het steekproefresultaat is bekend. • Bereken de overschrijdingskans van het steekproefgemiddelde. • Is deze kans kleiner dan 0,5α, dan verwerp je H0. • Is gegeven dat = 56,6, dan is de overschrijdingskans • P( ≤ 56,6), want 56,6 < µ. • Is gegeven dat = 58,7, dan is de overschrijdingskans • P( ≥ 58,7), want 58,7 > µ. • Het steekproefresultaat is niet bekend. • Stel het beslissingsvoorschrift op • en bereken gl en gr. 15.1

5. Eenzijdige en tweezijdige toetsen • Linkszijdige toets: H0 : µ = µ0 tegen H1 : µ < µ0 • Verwerp H0 als ≤ g met g zo, dat P( ≤ g ) = α. • Rechtszijdige toets: H0 : µ = µ0 tegen H1 : µ > µ0 • Verwerp H0 als ≥ g met g zo, dat P( ≥ g ) = α. • Tweezijdige toets: H0 : µ = µ0 tegen H1 : µ ≠ µ0 • Verwerp H0 als ≤ gl of ≥ gr • met gl zo, dat P( ≤ gl ) = 0,5α en gr zo, dat P( ≥ gr ) = 0,5α 15.2

6. Overschrijdingskans van het steekproefgemiddelde • Bij H0 : µ = 25 en • H1 : µ < 25 is de overschrijdingskans van 23 gelijk aan P( ≤ 23) • H1 : µ > 25 is de overschrijdingskans van 28 gelijk aan P( ≥ 28) • H1 : µ ≠ 25 is de overschrijdingskans van 28 gelijk aan P( ≥ 28) en • is de overschrijdingskans van 23 gelijk aan P( ≤ 23). • Je verwerpt H0 als • de overschrijdingskans kleiner is dan of gelijk is aan α (bij eenzijdig toetsen) • de overschrijdingskans kleiner is dan of gelijk aan 0,5α (bij tweezijdig toetsen). 15.2

7. Toetsen van hypothesen • Volg bij het toetsen van hypothesen de volgende stappen. • Formuleer H0 en H1 en vermeld het significantieniveau α. • Bereken de overschrijdingskans als het steekproefresultaat bekend is. • Stel anders het beslissingsvoorschrift op. • Beantwoord de gestelde vraag. • Bedenk dat H0 de hypothese is die in twijfel wordt getrokken. • Kies H0 altijd enkelvoudig, dus H0 : µ = µ0. 15.2

8. Binomiale toets • Bij een binomiale toets heeft de nulhypothese de vorm H0 : p = p0. • Is de toets linkszijdig, dan is H1 : p < p0. • Is de toets rechtszijdig, dan is H1 : p > p0. • Is de toets tweezijdig, dan is H1 : p≠ p0. • Het al dan niet verwerpen van H0 hangt af • van het steekproefresultaat. • Onder H0 is X binomiaal verdeeld met • p = p0 ; n is de steekproefomvang. 15.3

9. Beslissingsvoorschrift bij significantieniveau α • Linkszijdig: Verwerp H0 als X≤ g. • Kies g zo, dat P(X ≤ g) ≤ α. • Rechtszijdig: Verwerp H0 als X≥ g. • Kies g zo, dat P(X ≥ g) ≤ α. • Tweezijdig: Verwerp H0 als X≤ gl of X≥ gr • Kies glen gr zo, dat • P(X ≤ gl) ≤ 0,5α en P(X ≥ gr) ≤ 0,5α 15.3

10. Het toetsen van de mediaan met de tekentoets • Bij het toetsen van de hypothese ‘de mediaan is m0’ tegen de hypothese • ‘de mediaan is niet m0’ bereken je van alle steekproefresultaten het teken • van waarneming – m0. • Er ontstaat zo een rij van plus- en mintekens. • Indien de mediaan werkelijk m0 is, is de kans op een plusteken gelijk aan 0,5. • Het aantal plustekens is dan binomiaal verdeeld met p = 0,5. • Dus H0 : p = 0,5 en H1 : p ≠ 0,5. • Gebruik vervolgens de overschrijdingskans van het steekproefresultaat om de • juiste conclusie te trekken. • Bij deze methode laat je de waarnemingen waarvoor waarneming – m0 = 0 • buiten beschouwing. 15.4

11. Is er een significant verschil tussen twee rijen waarnemingsgetallen • Om te onderzoeken of er een significant verschil bestaat tussen twee rijen • waarnemingsgetallen kun je de tekentoets gebruiken. • Bij elk paar stel je vast of het verschil positief of negatief is. • De rij plus- en mintekens die zo ontstaat gebruik je als steekproef uit een • binomiale verdeling, waarbij de toetsingsgrootheid het aantal plustekens is. • De nulhypothese is H0 : p = 0,5. • Immers als er geen verschil is tussen de rijen waarnemingsgetallen is de kans • op een plusteken gelijk aan de kans op een minteken. • De alternatieve hypothese is afhankelijk van de probleemstelling, • H1 : p < 0,5 of H1 : p > 0,5 of H1 : p≠ 0,5. • Het is gebruikelijk om de paren waarbij het verschil nul is, buiten beschouwing • te laten. 15.4