vwo D Samenvatting Hoofdstuk 9

1. vwo D Samenvatting Hoofdstuk 9

2. Vier vergelijkingen van een lijn • De vergelijking y = ax + b. • De richtingscoëfficiënt van de lijn is a en • het snijpunt van de lijn met de y-as is (0, b). • De vergelijking ax + by = c. • Dit is de algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y. • De assenvergelijking • De lijn snijdt de assen in de punten (a, 0) en (0, b). • De vergelijking • De lijn gaat door de punten A(xA, yA) en B(xB, yB). 9.1

3. Onafhankelijke, strijdige en afhankelijke stelsels • Als de lijnen k: ax + by = c en l: px + qy = r • elkaar snijden, geldt en is het bijbehorende stelsel • onafhankelijk • evenwijdig zijn en niet samenvallen, geldt en • is het bijbehorende stelsel strijdig • samenvallen, geldt en is het bijbehorende • stelsel afhankelijk. 9.1

4. opgave 20 rcAC = rcBC = ACB = 90° geeft rcAC · rcBC = -1 p – 4 = -(p – 10) p – 4 = -p + 10 2p = 14 p = 7 Dus C(7, 5) 9.1

5. De afstand tussen twee punten • De afstand tussen de punten A(xA, yA) en B(xB, yB) is • d(A, B) = y B(xB, yB) • ∣yA - yB∣ • • ∟ C A(xA, yA) ∣xA - xB∣ x O 9.2

6. De afstand van een punt tot een lijn • De afstand van het punt P(xP, yP) tot de lijn k: ax + by = c • is d(P, k) = 9.2

7. opgave 30 P(x, y) op een bissectrice van k en l geeft d(P, k) = d(P, l). ∣3x – 4y + 12∣ = ∣4x – 3y + 6∣ 3x – 4y + 12 = 4x – 3y + 6 ⋁ 3x – 4y + 12 = -(4x – 3y + 6) -x – y = -6 ⋁ 3x – 4y + 12 = -4x + 3y – 6 x + y = 6 ⋁ 7x – 7y = -18 Dus m: x + y = 6 en n: 7x – 7y = -18 9.2

8. De notatie x = a + pλ⋀ y = b + qλ • In de parametervoorstelling k: x = a + pλ⋀ y = b + qλ • van de lijn k is (a, b) een punt van de lijn en is • een richtingsvector van de lijn. • Voor elke waarde van λ krijg je een punt van de lijn. • Een normaalvector van een lijn is een vector • die loodrecht op die lijn staat. • Een normaalvector nl van de lijn l: ax + by = c is nl = 9.3

9. Bewegingen in het platte vlak • Vooral als je te maken hebt met bewegingen in het platte vlak, • is het handig om gebruik te maken van parametervoorstellingen. • Het platte vlak bestaat uit 4 kwadranten 9.3

10. opgave 42 Stel P(6 + λ, 0), dan is Q(0, 2 + 2λ). Het midden M van PQ is = (3 + λ, 1 + λ). Voor M geldt dus x = 3 + λ⋀y = 1 + λ. M ligt op de lijn met s = en r = Dus n = en een vergelijking van de lijn is 2x – y = 5. 6 + λ + 0 0 + 2 + 2λ 2 2 , 1 2 3 1 2 -1 9.3

11. De cirkelvergelijking x2 + y2 + ax + by + c = 0 • Een vergelijking van een cirkel kan worden geschreven in de vorm • x2 + y2 + ax + by + c = 0. • Door kwadraatafsplitsen is de vergelijking te schrijven in de vorm • (x – xM)2 + (y – yM)2 = r2. • Uit de laatste vergelijking lees je af: • het middelpunt is M(xM, yM) en de straal is r. 9.4

12. Raaklijnen aan cirkel • Raaklijn in punt A(xA, yA) op de cirkel x2 + y2 = r2. • Gebruik de formule xAx + yAy = r2 • Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt. • Voor het opstellen van de vergelijking van de raaklijn met een gegeven • richtingscoëfficiënt aan een cirkel zijn er drie methoden. • De discriminant-methode • Met de afstandsformule • Met een loodlijn door M • Raaklijnen door punt buiten de cirkel. 9.4

13. De poollijn van een punt ten opzichte van een cirkel • Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de cirkel • x2 + y2 = r2 in de punten A en B, dan is • de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de cirkel • het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de cirkel • een vergelijking van de lijn AB: xPx + yPy = r2. • Als de cirkel de vergelijking (x – xM)2 + (y – yM)2 = r2 heeft, • dan is de vergelijking van de poollijn • (xP – xM)(x – xM) + (yP – yM)(y – yM) = r2. 9.5

14. De macht van een punt ten opzichte van een cirkel • PM 2 – r2 is de macht van het punt P ten opzichte van de cirkel • met middelpunt M en straal r. • De macht van het punt P(xP, yP) ten opzichte van de cirkel • x2 + y2 + ax + by + c = 0 is gelijk aan xP2 + yP2 + axP + byP + c. 9.5

15. De machtlijn van twee cirkels • De machtlijn van twee niet-concentrische cirkels is de lijn • waarop alle punten liggen die gelijke machten hebben • ten opzichte van beide cirkels. • Van de cirkels c1: x2 + y2 + ax + by + c = 0 en c2 : x2 + y2 + px + qy + r = 0 • is de vergelijking van de machtlijn (a – p)x + (b – q)y + c – r = 0. • Bij twee snijdenden cirkels gaat de machtlijn door de snijpunten • van de cirkels. 9.5

16. opgave 80 AM: y = x en BN: y = -x + 6 Los op x = -x + 6 x = 6 x = Dus P( , ) AN: y = x rcDP = Dus DP: y = x + 3 Los op x = x + 3 x = 3 x = Dus Q( , ) AC: y = x DP: y = x + 3 Los op x = x + 3 x = 3 x = Dus R( , ). Het midden van PQ is Dus R is niet het midden van PQ. 9.6