Wiskunde en zorg: achtergronden voor een betere planning NVZ/VLM Masterclass pati ë ntenlogistiek

1. Wiskunde en zorg: achtergronden voor een betere planningNVZ/VLM Masterclass patiëntenlogistiek Prof.dr. Ger Koole PICA, kenniscentrum patiëntenlogistiek VU/VUmc

2. Doel bijdrage masterclass • Inzicht relatie vraag en aanbod onder fluctuaties en onzekerheid • Inzicht vermogen en onvermogen wiskundig modelleren in de zorg • Enkele beginpunten voor een meer rationele planning en capaciteitsmanagement • Weten hoe de vervolgstappen te zetten

3. Wiskunde in de zorg is in Institute for Healthcare Improvement (IHI), VS

4. Inhoud • Wat is plannen? • Rol van fluctuaties en onzekerheid bij plannen • Enkele wiskundige modellen voor plannen en het managen van capaciteit • Geïllustreerd a.d.h.v. voorbeelden uit de zorg • Zelf er mee aan de slag

5. Wat is plannen in de zorg? “Een plan is een bedenksel dat een intentie weergeeft om iets te bereiken“ (wikipedia) • Afstemming zorgvraag en aanbod (van behandelingen, bedden, MRI-slots, enz.) • Het “iets”, het doel van de planning, moet duidelijk zijn • Vb: minder dan 5% weigeringen, wachtlijst korter dan 4 weken

6. Lange en korte termijn • Lange vs. korte termijn • Vb: • aantal bedden vs. toewijzen MRI slots • OK, van lang naar kort: sessieindeling / patiënttoewijzing / operationele bijsturing • Strategisch/tactisch vs. operationeel • Capaciteitsbepaling vs. capaciteitsbenutting

7. De “ideale” wereld • Geen fluctuaties • Voorbeeld • vraag naar exact 2 OHO´s per dag • elke patiënt precies 1 dag IC • 2 “geoormerkte” IC bedden voor OHO’s • Geen weigeringen, 100% bezetting OK en IC • Is dit realistisch? • Nee: aantal OHO’s fluctueert in realiteit, en soms IC bed bezet door spoedpatiënt

8. Voorbeelden: Weekend minder operaties ‘s Nachts minder spoed ‘s Zomers minder afspraken Variatie in ligduren Classificatie: Intern/kunstmatig/vermijdbaar vs. Extern/natuurlijk/onvermijdelijk Kunstmatig Natuurlijk Kunstmatig Natuurlijk (?) Fluctuaties

9. Onzekerheid • Soms zijn fluctuaties vantevoren bekend (dag/nacht patroon SEH), soms niet (exacte aantal aankomsten): onzekerheid • “Onzekerheid is informatie die je nog niet hebt maar die wel nodig is” (Galbraith) • Voorbeelden: • aantal aankomsten acute patiënten • operatieduren • ligduren (LoS) • Beschikbaarheid personeel (ziekte, te laat) • Informatie nodig om capaciteit af te stemmen op vraag

10. Overdag meer spoed dan ’s nachts Alle OK’s op 1 dag onzeker niet onzeker Ligduren, aantal spoed, enz. Geen communicatie extern intern Fluctuaties & onzekerheid

11. Vermijden fluctuaties • Interne fluctuaties vermijden • Focused factories voor voorspelbare electieve zorg • Planning op basis van rationele argumenten, geen verworven rechten • Hoe om te gaan met externe fluctuaties?

12. Omgaan met fluctuaties in vraag • Antwoord logistiek: vooruitwerken • Korte termijn onzekerheid: veiligheidsvoorraad (meer op de plank dan gemiddelde dagelijkse behoefte) • Lange termijn fluctuatie: seizoensvoorraad (bijv. kerstartikelen) • Relevant voor logistiek disposables en medicijnen

13. Omgaan met fluctuaties in vraag Vooruitwerken onmogelijk in zorg (want dienst) Dus: • of aanbod afstemmen op maximum vraag, gevolg: lage produktiviteit/hoge kosten • of aanbod tussen gemiddelde en maximum vraag met wachttijden (nawerken) en/of afzeggingen/doorverwijzingen als gevolg

14. Wiskundige modellen • Wiskundige modellen om: • afweging capaciteit – wachttijd/weigeringen te kwantificeren • Planning te optimaliseren en/of planningsmethoden te vergelijken • Benaderingen van de werkelijkheid • Controle of benadering goed (genoeg) is heet validatie • Vaak te implementeren in rekenhulpen (in bijv Excel)

15. Wiskundige modellen • Bouwstenen: aankomstproces, proceslogica, behandelingsduren • Wiskundige beschrijving van onzekerheid: kansrekening • Oplossen: • Soms een formule • Vaak alleen computersimulatie

16. c a b Wat is simulatie? • Voorbeeld: bereken de oppervlakte van een cirkel met straal 1 • Methode: kies willekeurige punten in een vierkant van 2x2, bereken % in een cirkel met straal 1 die in vierkant valt • Bepalen of punt in cirkel valt m.b.v. Pythagoras: c<1 als a²+b²<1 • Demo m.b.v. Excel

17. c a b Wat is simulatie? • Vb: 79 keer van 100 in cirkel • Dan: cirkel beslaat 79% van 4, dus opp. ong. 0.79 x 4 = 3.16 • Maar ook: formule voor opp. cirkel: π r², met r=1 de straal van de cirkel • Conclusies: • Oppervlakte = 3.141592654….. • We kunnen nu π berekenen • Simulatie is niet erg nauwkeurig, gebruik een formule als je kan

18. Wiskundige modellen Achtereenvolgens: • Ligduren + OK planning • Geplande aankomsten + poliplanning • Ongeplande aankomsten + capaciteitsberekeningen verpleegeenheden

19. Lig- en behandelduren • Lig- en behandelduren zijn onvoorspelbaar (behalve bij bijv. fysiotherapeut) • Karakteriseren duren: • Gemiddelde, ALOS (average length of stay) • Met standaard deviatie, maar voor afwijking van gemiddelde • Vb: 2,3,2,3: gem 2.5, std dev 1 • 1,4,5,0: gem ook 2.5, std dev 2.38 • Zelf proberen in Excel mbv STDEV

20. N =494 ALOS = 18 Median = 5 CT = 2,6 N =575 ALOS = 67 Median = 48 CT = 0,99 LOS [hr] LOS [hr] Lig- en behandelduren • Ligduren (LOS) hebben vaak “dikke staart” (hoge std.dev): veel korte en enkele heel lange liggers • Voorbeelden zonder en met dikke staart: links ALOS 67, std.dev 47, rechts 18 en 47

21. OK planning • Vast aantal, variabiliteit operatieduren van belang • Vraag: gegeven geplande operaties op een OK, wat is kans/duur van overschrijding? • Van belang: gem. operatieduur maar ook variabiliteit • Wiskundetool: normale verdeling

22. Rekenregels normale verdeling • Gekarakteriseerd door gemiddelde μ en standaard deviatieσ • μ± σ bedekt ca. 68%, μ± 2σ bedekt ca. 95% • NORMDIST functie in Excel: bijvoorbeeld =NORMDIST(1,0,1,TRUE) = 0.84

23. Rekenregels sommen en OK duren • Elk som is ongeveer normaal verdeeld • Voor lengte som kan je gemiddeldes en varianties = σ* σ optellen • Bruikbaar voor berekenen OK duren • Voorbeeld: • sessielengte 8 uur • 2 operaties van gem 2 uur met σ 1 uur • 2 operaties van gem 1 uur met σ 0.5 uur • Kans op overschrijding? • Excel berekening

24. Aankomstproces • Gepland • Op afroep beschikbaar (OK planning, gedaan) • Ingeplande afspraken (polibezoeken) • Ongepland • Spoed • Inloopspreekuur • Maken van afspraken

25. Ingeplande afspraken • Aankomstmomenten niet helemaal voorspelbaar (no shows, niemand exact op tijd) • Wat zijn de beste afspraakmomenten? • Het beste voor wie? • Experimenteren met obp.math.vu.nl/healthcare/software/ges

26. Ongeplande aankomsten • Spoed: grote populatie met elk kleine kans  Poisson verdeling • Histogram Poisson verdeling met gemiddelde 6:

27. Vb Poisson verdeling • CT scan met 10 vrije slots voor klinische patiënten • Aantal klinische CT-patiënten is Poisson verdeeld met historisch gemiddelde 8.5 • Wat is de kans dat er meer dan 10 zijn? • Oplossingen: • Formule doorrekenen • Excel het laten doen: “=1-POISSON(10,8.5,TRUE)” = 0.236638021 • Monte Carlo simulatie (demo Crystal ball)

28. Aankomsten EHH VUmc

29. Het Erlang B “wachtrij”model • Modelleert verpleegeenheid met weigeringen • Poisson aankomsten, willekeurige LOS • Webtool: obp.math.vu.nl/healthcare/masterclass

30. Het Erlang B “wachtrij”model • Invoer: 3 van: • Gemiddelde vraag per dag • ALOS • Aantal bedden • % Weigeringen • Bezetting • Uitvoer: andere 2

31. Het Erlang B “wachtrij”model • Vraag vaak onbekend, wel bezetting (=instroom * ALOS / aantal bedden) • Experiment: neem willekeurige input voor vraag, ALOS, # bedden. Bekijk output. Verdubbel nu vraag en # bedden: schaaleffecten

32. Validatie Erlang B model Erlang B modelleert niet: • Seizoenseffecten • Weekeffecten • Ad hoc beslissingen t.a.v. LOS en capaciteit Ook Erlang C met wachten i.p.v. weigeren (supermarktmodel)

33. Emergency PTCA Refused Admission Normal Care clinical ward First Cardiac Aid FCA Coronary Care Unit CCU Emergency patient Re-admission Home Other nursing unit Rest Complexere processen • Wachtrijmodellen alleen voor eenvoudige systemen • Discrete-event simulatie voor o.a. zorgpaden

34. Conclusies • Capaciteitsmanagement rationeel te onderbouwen • Kennis van relevante wiskundige kennis schaars in ziekenhuizen • Verder lezen: • obp.math.vu.nl/healthcare • www.vumc.nl/pica • www.ihi.org