UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Introducción Rafael Salas Abril de 2011

2. Referencia básica • Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press. • Nociones de bienestar (medidas de bienestar) y políticas sociales.

3. Objetivos • Desigualdad, bienestar, pobreza, progresividad, redistribución • No solo importa la renta media, crecimiento medio • Comparar dos distribuciones: • 2 países • 1 país en dos periodos • 1 país antes y después de impuestos o gasto público

4. Índice • Introducción • Medición de la desigualdad: metodología • Enfoque ordinal (parcial) • Índices de desigualdad • Enfoque cardinal (completo) • Bienestar: enfoque parcial/completo • Pobreza: enfoque parcial/completo • Desigualdad de oportunidades

5. Introducción • Bases de datos • Individual: Ej. Panel de hogares de la UE, Encuesta Presupuestos Familiares • Agrupada: Tabulada por intervalos

6. Introducción • Unidad de análisis: • hogar, individuo, unidad fiscal • Definición nivel de vida: • renta, gasto, riqueza • Escalas de equivalencias: • Escala OCDE: E=1+0.7(A-1)+0.5N • Escala Coulter et al. (1992) E=nθ, θ[0,1] Ej:θ=0,5 • Escala Cutler (1992) E=(A+cN)θ, c, θ[0,1] • Deaton, Zaidi (2002) E=(A+c1N1+c2N2)θc1,c2θ[0,1] Ej: c1=0,5;c2=0,75 θ=0,9 N=número de niños A=número de adultos n= número total N1, menores de 6 años, N2, entre 6 y 14 años

7. Introducción • Representación de la distribución: • F. densidad • F. de distribución • Distribuciones discretas y contínuas

8. Introducción • Se supone que la distribución de la renta en una población es una variable aleatoria, que se puede representar primariamente por una: • F. densidad • F. de distribución • Distribuciones discretas y contínuas. En trabajo empírico, discretas y en trabajo teórico, contínuas.

9. Introducción • Distribuciones discretas, con N hogares (o individuos) y ordenados: 0  x1 x2  ···  xN • Frecuencias o densidad relativa: NJ/N hogares en el intervalo J, [x, x+x]

10. F. densidad

11. F. densidad y distribución:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares

12. F. densidad y distribución θ=0.5:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares

13. F. densidad • Distribuciones contínuas, para N muy grande: • Función de densidad relativa: A lo que converge NJ/N hogares en el intervalo [x, x+x] cuando x tiende a cero. Se denomina f(x)dx y expresa la frecuencia o la probabilidad de que un hogar obtenga rentas en el entorno de x: [x, x+dx]. Nf(x)dx expresa el total de hogares con renta x Nxf(x)dx expresa el total de renta de los hogares con renta x

14. F. densidad • Función de densidad relativa: Si hacemos la integral de esas expresiones de 0 a infinito: calculamos esos valores para toda la población. Si hacemos la integral entre a y b, calculamos los valores respectivos para la población entre a y b. Expresan la proporción de hogares, el total de hogares y el total de renta entre a y b, respectivamente

15. F. densidad • Expresiones continuas:

16. F. densidad • Expresiones continuas: Discretas:

17. F. densidad • Expresión útil de la densidad relativa:

18. F. distribución • Función de distribución: es el acumulado de la función de densidad indica la proporción de hogares con renta inferior o igual a x.

19. F. distribución

20. Expresiones Mediana m: Moda mo: Varianza:

21. F. cuantílica • Función cuantílica: es la inversa de la función de distribución Donde p es el cuantil p correspondiente. Gráficamente es la parada (desfile) de los enanos, Pen (1974).

22. Parada de los enanos

23. Bienestar • Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada: • W:R+R como: donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava

24. Bienestar • Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada: • W:R+R como: W:RN+R como: donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava

25. Bienestar • Funciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari 1987, 1988: • W:R+R como: : donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.

26. Bienestar • Funciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari 1987, 1988: • W:R+R como: : W:RN+R como: donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.

27. C. Lorenz • Curva de Lorenz. Partimos de la versión discreta p= j/N: • El porcentaje del renta total que gana el cuantil p= j/N más pobre.

28. Persona j 5 1 2 3 4 15 35 45 Curva de Lorenz Veámoslo con el ejemplo 5 0.25 0.05 20 0.50 0.20 55 0.75 0.55 1.00 100 1.00

29. 20% 5% 25% 50% Representamos esto... Proporción acumulada de renta 55% A B 75% Proporción acumulada de ind.

30. Proporción acumulada de renta Línea de igualdad Max desigualdad Proporciónacumulada de indivi En caso de máxima desigualdad...

31. Curva de Lorenz Así pues, cualquier distribución de renta cuya curva de Lorenz esté más cercana a la diagonal ... Es más igualitaria Sin embargo tendremos dificultades para comparar dos distribuciones cuando... Sus dos curvas de Lorenz se cortan

32. C. Lorenz • Partimos de la versión contínua p= F(x) • Entonces Gastwirth (1971) agregado de la f. cuantílica normalizada:

33. C. Lorenz • TEOREMA • Pendiente de la curva de Lorenz L(p)=y/ • DEMOSTRACIÓN • IMPLICACIONES: • Entonces L(p) es creciente y convexa. • La pendiente en el percentil de la media es 1. • El índice de Schulz es:

34. Proporción acumulada de renta Proporción acumulada de ind. En términos contínuos... S A B

35. C. Lorenz • Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de la de una distribución B (AB): • Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B (inequívocamente menos desigualdad). • Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de Lorenz.

36. C. Lorenz • El índice de Gini es: o alternativamente que coincide con 1-2B=2A del gráfico anterior

37. I.Gini OriginalmenteGini 1914: Si lo ordenamos de menor a mayor:

38. I.Gini Si agrupado: x1,k1 veces,…., xn, kn veces:

39. I. Gini Yitzhaki (1998) “More than a dozen alternative ways of spelling Gini”, REI.

40. Otros índices descriptivos Hemos hablado de la varianza: Otra mediada de dispersión, la desviación media relativa:

41. Otros índices descriptivos • La DMR tiene interpretaciones gráficas: • Desfile de los enanos • Curva de Lorenz: equivale a 2S, S= coeficiente de Schulz La desviación típica de los logaritmos:

42. Ejercicio • Dibujar la curva de Lorenz para 2001 de los hogares españoles y computar el índice de Gini.

43. C. Concentración • Partimos de la versión discreta p= j/N • Entonces ordenamos T por la variable X (renta antes de impuestos) • El porcentaje del impuesto total que paga el j/N porcentaje más pobre.

44. C. Concentración • Partimos de la versión contínua p= j/N • Entonces ordenamos T por la variable X (renta antes de impuestos) • El porcentaje del impuesto total que paga el p porcentaje más pobre.

45. C. Concentración • No es la curva de Lorenz ni tiene sus propiedades, aunque la curva de concentración coincide con la Lorenz en el caso: • Aunque genéricamente:

46. C. Concentración • Un impuesto es progresivo si: • Relación importante si hacemos Y=X-T y t=tipo medio:

47. C. Concentración • De otra forma: • Definimos el coeficiente de concentración de T:

48. C. Concentración • Definimos el coeficiente de concentración de T y el de X-T análogamente: • Entonces índice de progresividad de Kakwani: Veremos su relación con el índice de redistribución:

49. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Introducción Rafael Salas Abril de 2011

50. Deigualdad versus PIB per capita Fuente:http://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table1_1.htmhttp://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table2_7.htm