Nerovnice

1. Nerovnice Druhy řešení podle definičního oboru

2. Lineární nerovnice - opakování Lineární nerovnice je zápis nerovnosti dvou výrazů (v obecném tvaru a.x + b < 0 , kde se mohou vyskytovat znaménka nerovnosti >, <, ,  ), ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), která splňují danou nerovnost. 2.x + 6 > 0 Postup řešení nerovnic je obdobný jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. Místo znaménka = (rovná se) užívaného v rovnicích se v nerovnicích objevují znaménka > (je větší než), < (je menší než),  (je větší nebo rovno) nebo  (je menší nebo rovno). U nerovnic a určení jejich řešení hraje podstatnou roli i číselný obor, ve kterém nerovnici řešíme. Jestliže řešíme nerovnici v přirozených či celých číslech, pak je řešením zpravidla množina prvků. Jestliže řešíme nerovnici v reálných číslech, pak je řešením zpravidla interval.

3. Druhy řešení Nerovnice může mít 3 různá řešení: Po několika krocích ekvivalentních úprav tak můžeme dostat některé z následujících řešení: 1) 7 < 4 nebo -3 > 1 nebo -2  -5,5 Tedy nepravdivý matematický výraz, nepravdivá nerovnost, což znamená, že nerovnice nemá žádné řešení. 2) 7 > 4 nebo -3 < 1 nebo -2  -5,5 Tedy pravdivý matematický výraz, pravdivá nerovnost, což znamená, že nerovnice má nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno všechna čísla z dané množiny definičního oboru. 3) x > 5 nebo y  -3 Tedy nerovnost, určující také nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno interval čísel. Řešením je tedy spojitá část (množina) čísel definičního oboru.

4. Druhy řešení Nerovnice může mít 3 různá řešení: Kromě prvního druhu řešení nerovnic se ve zbývajících dvou objevuje odvolávka na definiční obor. Nyní se tedy podíváme, co to v praxi znamená. Po několika krocích ekvivalentních úprav, tak můžeme dostat některé z následujících řešení: 1.) 7 < 4 nebo -3 > 1 nebo -2  -5,5 Tedy nepravdivý matematický výraz, nepravdivá nerovnost, což znamená, že nerovnice nemá žádné řešení. 2.) 7 > 4 nebo -3 < 1 nebo -2  -5,5 Tedy pravdivý matematický výraz, pravdivá nerovnost, což znamená, že nerovnice má nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno všechna čísla z dané množiny definičního oboru. 3.) x > 5 nebo y  -3 Tedy nerovnost, určující také nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno interval čísel. Řešením je tedy spojitá část (množina) čísel definičního oboru.

5. Druhy řešení – podle definičního oboru Řešte nerovnici v R: Reálná čísla Nejdříve se zbavíme závorek, a to tak, že je roznásobíme. Nerovnice má v množině reálných čísel nekonečně mnoho řešení určených spojitým intervalem čísel od mínus nekonečna do trojky včetně. Převede všechny členy s neznámou na levou stranu a členy bez neznámé na stranu pravou. Nerovnici vydělíme číslem –4. Pozor na to, že násobíme-li či dělíme-li nerovnici záporným číslem, musíme obrátit znaménko nerovnosti!

6. Druhy řešení - ověření Řešte nerovnici v R: Ověření: Provedeme si tedy ověření správnosti, nejprve pro „hraniční“ číslo x=3. Ověření správnosti, ne tedy zkouška, protože většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Pro číslo, které není řešením, tedy není z intervalu řešení, daná nerovnost neplatí! A nyní si provedeme ověření správnosti pro jiné než „krajní“ číslo intervalu řešení, např. pro x=0. Pro hraniční bod intervalu řešení, ovšem jen pokud je součástí řešení, nastává vždy rovnost! A na závěr si provedeme ověření správnosti pro číslo, které není řešením nerovnice, které nepatří do intervalu řešení, např. pro x=5. Pro jiné než „hraniční“ číslo intervalu řešení platí daná nerovnost!

7. Druhy řešení – podle definičního oboru Řešte nerovnici v Z: Ještě jednou si tedy projdeme celý postup řešení této nerovnice. Ten se totiž v závislosti na zadaném definičním oboru nemění! Celá čísla Nejdříve se zbavíme závorek, a to tak, že je roznásobíme. Nerovnice má v množině celých čísel nekonečně mnoho řešení určených množinou čísel (bodů). Převede všechny členy s neznámou na levou stranu a členy bez neznámé na stranu pravou. Nerovnici vydělíme číslem –4. Pozor na to, že násobíme-li či dělíme-li nerovnici záporným číslem, musíme obrátit znaménko nerovnosti! …

8. Druhy řešení – podle definičního oboru Řešte nerovnici v N: A totéž ještě jednou. A vzhledem k tomu, že již víme, že postup úprav nerovnice se v závislosti na zadaném definičním oboru nemění, můžete jej již rychle „překlikat“! Přirozená čísla Nejdříve se zbavíme závorek, a to tak, že je roznásobíme. Nerovnice má v množině přirozených čísel konečnou množinu řešení - čísel (bodů). Převede všechny členy s neznámou na levou stranu a členy bez neznámé na stranu pravou. Nerovnici vydělíme číslem –4. Pozor na to, že násobíme-li či dělíme-li nerovnici záporným číslem, musíme obrátit znaménko nerovnosti!

9. Druhy řešení – podle definičního oboru Řešte nerovnici v R : - Záporná reálná čísla Nerovnice má v množině záporných reálných čísel nekonečně mnoho řešení určených spojitým intervalem čísel od mínus nekonečna do nuly (ta však již řešením není).

10. Druhy řešení – podle definičního oboru Řešte nerovnici v R+ : 0 Nezáporná reálná čísla (tj. kladná a nula) Nerovnice má v množině nezáporných reálných čísel nekonečně mnoho řešení určených spojitým intervalem čísel od nuly (včetně) do tří (včetně).

11. Druhy definičních oborů N … množina všech přirozených čísel Z … množina všech celých čísel Z+ … množina všech kladných celých čísel Z- … množina všech záporných celých čísel Z+ … množina všech celých nezáporných čísel 0 Z- … množina všech celých nekladných čísel 0 R … množina všech reálných čísel R+ … množina všech kladných reálných čísel R- … množina všech záporných reálných čísel R+ … množina všech reálných nezáporných čísel 0 R- … množina všech reálných nekladných čísel 0

12. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Reálná čísla Klikněte pro zobrazení výsledku

13. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R :

14. Příklady k procvičení Řešte nerovnici: Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila: 1) v N 2) v Z 3) v Z+ 4) v Z- 5) v Z- 0

15. Příklady k procvičení Řešte nerovnici: Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila: 6) v Z+ 0 7) v R+ 8) v R- 9) v R+ 0 10) v R- 0

16. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Reálná čísla Klikněte pro zobrazení výsledku

17. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R:

18. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila: 1) v N 2) v Z 3) v Z+ 4) v Z- 5) v Z- 0

19. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila: 6) v Z+ 0 7) v R+ 8) v R- 9) v R+ 0 10) v R- 0

20. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Reálná čísla Klikněte pro zobrazení výsledku

21. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R:

22. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila: 1) v N 2) v Z 3) v Z+ 4) v Z- 5) v Z- 0

23. Příklady k procvičení Řešte nerovnici v R: Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila: 6) v Z+ 0 7) v R+ 8) v R- 9) v R+ 0 10) v R- 0

24. Tak víme, co jsou nerovnice, známe ekvivalentní úpravy používané při řešení nerovnic, víme, co jsou intervaly řešení,víme, co jsou „obory“, jaké existují a co znamenají. Nyní tedy vzhůru na příklady, bez obav vzhůru do řešení nerovnic.