Rovnice a nerovnice

1. Rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice – Algebraické způsoby řešení II. – Diskriminant VY_32_INOVACE_M1r0109 Mgr. Jakub Němec

2. Řešení kvadratické rovnice • V minulé lekci jsme si ukázali, jak řešit kvadratickou rovnici pomocí vytýkání (kvadratická rovnice bez absolutního členu), pomocí rozkladu na součin dle vzorce (ryze kvadratická rovnice) a jak využít tzv. doplnění na čtverec u obecné kvadratické rovnice. • V této lekci si představíme nejčastější řešení kvadratických rovnic, které lze uplatnit u jakéhokoliv typu kvadratické rovnice – metoda řešení pomocí tzv. diskriminantu.

3. Diskriminant • Způsob, který si nyní předvedeme je univerzálním řešením jakékoliv kvadratické rovnice. • Jeho nevýhodnost spočívá ve zdlouhavém řešení, které vyžaduje dosazení do dvou vzorců. • V případě, že máme kvadratickou rovnici ve tvaru , kde ( a se rovnat nule můžou, v tom případě se však nejedná o obecný tvar kvadratické rovnice a je rychlejší použít jiné způsoby řešení), lze využít vzorce, kterými se vždy dopočítáme všech kořenů kvadratické rovnice:

4. Jako zkrácený způsob zápisu se využívá také tento tvar: • Je zřejmé, že dostaneme dvě řešení, protože jednou výraz upravíme se znaménkem + a jednou se znaménkem . • Při řešení rovnice je snadné poznat počet kořenů rovnice (existují tři možnosti – dva, jeden nebo žádný) a to díky výpočtu diskriminantu: • .

5. Určete kořeny dané rovnice a určete jejich platnost zkouškou. Upravíme rovnici. Užijeme vzorec pro zjištění diskriminantu. Diskriminant v daném příkladu vyšel větší než nula, proto bude mít rovnice dvě řešení. Jejich výpočet by neměl činit zvláštní potíže. Zkoušky jsou lehkým procvičením základní algebraických pravidel. Nechám je tedy na řešiteli.

6. Určete kořeny dané rovnice a určete jejich platnost zkouškou. Upravíme rovnici. Užijeme vzorec pro zjištění diskriminantu. Diskriminant v daném příkladu vyšel roven nule, proto bude mít rovnice jedno řešení. Výpočet kořenu by neměl činit zvláštní potíže. Zkouška je lehkým procvičením základní algebraických pravidel. Nechám je tedy na řešiteli.

7. Určete kořeny dané rovnice a určete jejich platnost zkouškou. Upravíme rovnici. Užijeme vzorec pro zjištění diskriminantu. Diskriminant v daném příkladu vyšel menší než nula, proto nebude mít rovnice řešení. Zkouška není nutná.

8. Úkol závěrem • 1) Řešte rovnice a proveďte zkoušku: • a) • b) • c)

9. Zdroje • Literatura: • CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.