1 / 35

Transformasi Linier

Transformasi Linier. Definisi : Transformasi. R m. Transformasi ( pemetaan atau fungsi ) T dari R n (domain) ke R m ( codomain ) dituliskan : T : R n w = T( v ) v : variabel tak bebas w : variabel bebas Sebagai suatu fungsi f : R Misalkan :

oliver-myers
Download Presentation

Transformasi Linier

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Transformasi Linier

  2. Definisi : Transformasi Rm Transformasi (pemetaanataufungsi) T dariRn(domain) keRm (codomain) dituliskan : T : Rn w = T(v) v : variabeltakbebas w : variabelbebas Sebagaisuatufungsif : R Misalkan : Menunjukkantransformasivkewdarimatrik A vektor R, contoh : f(x) = x2

  3. Secara umum persamaan matrik transformasi : Transformasi matrik A oleh vektor vektor Dituliskan sebagai berikut : TA: R2 dalamR2menjadi dalamR3. R3

  4. Dengankata lain : range(jarak) TAmerupakanruangkolomdarimatrik A

  5. Definisi : Transformasi Linier • Transformasi T : Rn • Jika : • T(u + v) = T(u) + T(v) untuksemuaudanvdalamRn • T(cv) = cT(v) untuksemuavdalamRndanskalar c • Contoh : • T : Rn • Buktikanbahwa T adalahtransformasi linier. Rmdisebuttransformasi linier Rmdinyatakandengan

  6. Jawab : Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)

  7. Syarat 2 : T(cv) = cT(v) Karena 2 syaratterpenuhi, maka T terbuktimerupakantransformasi linier

  8. Rmdisebuttransformasi linier Definisitransformasi linier jugadapatditentukandenganmengkombinasikankeduasyaratyaitu : • Transformasi T : Rn jika : T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) untuksemua v1, v2dalamRndanskalar c1, c2 • Matriktransformasi (TA) adalahtransformasi linier. Bukti : sehingga : T = TAdengan A =

  9. Rmdisebuttransformasi • Transformasi TA: Rn linier jika : TA(x) = Ax untuk x dalamRndan A adalahmatrik m x n Bukti : misalkanudanv adalahvektordalamRndan c : skalar, kemudian : TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v) dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v) Dengandemikian : TAmerupakantransformasi linier.

  10. Rmmerupakantransformasi linier. • Misalkan T: Rn Kemudian T adalahmatriktransformasi, khususnya T = TAdengan A adalahmatrik m x n Maka : disebutsebagaimatrikstandardaritransformasi linier T Bukti : xadalahvektordalamRndapatdituliskan: x = x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen) = x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ……..+xnT(en )

  11. Contoh :

  12. Sifat-sifat transformasi linier : Wadalahtransformasi linier, maka : Jika T : V • T(0) = 0 • T(– v) = – T(v) untuksemuavdalamV • T(u – v) = T(u) – T(v) untuksemuaudanvdalamV Contoh : Anggap T adalahtransformasi linier dariR2keP2 seperti Carilah :

  13. adalah basis dariR2 , sehingga Jawab : Karena : setiapvektordalamR2beradadalamjangkauan (B) Maka : Diperolehnilai c1= – 7 dan c2= 3, sehingga :

  14. Dengan cara yang sama diperoleh bahwa : Maka :

  15. Komposisi dari suatu transformasi Rn yang Komposisi dari dua transformasi T: Rm diikuti S: Rn Jika : T: Rm kemudian S T: Rm maka matrik standarnya adalah : T Rpdituliskan : S Rm Rn Rp T S v S(T(v)) = (S T)(v) T(v) T S Rndan S: Rn Rptransformasi linier, Rpadalahtransformasi linier,

  16. R3didefinisikansebagai : Contoh : Transformasi linier T: R2 Transformasi linier S: R3 Cari : S T : R2 R4didefinisikansebagai : R4

  17. Jawab : Matrik standar : dan

  18. Cara lain : Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :

  19. P1 transformasi linier P2 Anggap : T : R2 S:P1 yang ditunjukkan oleh : Carilah : Jawab :

  20. W memilikiinversjikaada InversdariTransformasi Linier Definisi : Transformasi linier T: V transformasi linier T: W Maka : T’ disebutinversdari T Contoh : Tunjukkanbahwapemetaan T : R2 dinyatakansebagai : merupakaninvers ! V sehingga T’ T = Ivdan T T’ = Iw P1dan T’: P1 R2 yang

  21. Jawab : Dan : c +(c+(d – c))x= c + dx Jadi : Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers

  22. Kernel dan range transformasi linier Definisi : Jika T : V Kernel T yang ditulisker(T)adalahhimpunansemuavektordalam V yang merupakanpemetaanhasil T ke 0 dalam W. Range T yang ditulisrange(T)adalahhimpunansemuavektordalam W yang merupakanbayanganvektor V hasil T W adalahtransformasi linier ker (T) = {vdalam V : T(v)= 0 range (T) = {T(v) : vdalam V} = {w dalam W: w = T(v) untuksemuavdalam V}

  23. W adalahtransformasi linier Jika T : V Maka : • Kernel T merupakansubruang V dandimensi kernel dikenalsebagainulity : nullity (T) • Range T merupakansubruang W dandimensi range dikenalsebagairank : rank (T) ker(T) range(T) 0 V 0 T W Kernel dan range dari T : V W

  24. Transformasi satu - satu W adalahtransformasi linier satu - satujika T : V T merupakanpemetaanvektordalam V kevektordalam W T : satu - satu Untuksemuau danv dalam V u ≠ v T(u) ≠ T(v) T(u) = T(v) u = v T T V W T : bukansatu - satu V W

  25. Transformasi Onto : W adalahtransformasi linier onto untuksemua T : V w dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga : w = T(v) T : onto T : bukan onto

  26. W adalahsatu – satu, jikadanhanyajika : • Misalkan dim V = dim W = n dantransformasi linier T: V onto. Bukti : Jika T adalahsatu – satu, makanulity (T) = 0 Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = n Olehkarenaitu T adalahonto. Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = n Teorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0 Sehinggaker (T) = {0} dan T adalahsatu -satu

  27. Contoh : dinyatakandengan : R3 Transformasi T : R2 merupakantransformasisatu-satuatau onto ? Jawab : Misalkan : Sehinggadiperoleh : x1 = x2dan y1 = y2 Jadi : ,maka : maka T adalahsatu-satu

  28. T bukan onto, karena range tidaksemuadari R3 menjadinyata. Terdapatbesaranbukanvektordalam R2 seperti : Contoh : Tunjukkanbahwa T : R2 sebagai : adalahtransformasi linier satu - satu P1dinyatakan

  29. adalahker (T), maka : Jawab : Jika Sehingga diperoleh : Akibatnya : ker (T) = Dengan menggunakan teorema rank : Rank(T) = dim R2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2 Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruangR2 Maka T adalah onto dan T adalahsatu - satu

  30. Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektor W dikatakanisomorph,jika Definisi : Transformasi linier T : V satu – satudan onto. Jika V dan W merupakanruangvektor yang memilikikesamaanbentukdisebut V isomorph W dandituliskan : V Sifat-sifatisomorph : 1. Jika T merupakanisomorph, makademikianjuga T-1 2. T merupakanisomorphjikadanhanyajikaker(T) = {0} dan range (T) = W 3. Jika v1, v2 ……..vkadalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)…..T(vk)adalah basis dalam W 4. Jika V dan W adalahruangvektorberdimensiterbatas, maka V isomorph W jikadanhanyajika dim(V) = dim (W). W

  31. P2yang dinyatakan Latihan : • Tunjukkanapakah T : R3 dalam : merupakantransformasi linier ! 2. Tunjukkanapakah T : R3 dalam : merupakantransformasi linier ! M2x2yang dinyatakan

More Related