TEORI PROBABILITAS MMA 10211

1. TEORI PROBABILITAS MMA 10211

2. Ingatkan kembali -aljabar – Teori Ukur - Probabilitas

3. -aljabar – teori ukur - probabilitas • Himp X : himp hasil yg dimungkinkan (i.e ruang sampel), selanjutnya ditulis dengan . Himp ini disebut dg himp fundamental     Himp Σ : keluarga sub-sub himp yg dibangkitkan X (i.e σ-aljabar), diinterpretasikan sbg himp kejadian. Himp Σ selanjutnya ditulis sbg F, ataujuga ditulis sebagai (‘a bulat’ untuk menandakan sebagai σ-aljabar ) Fungsi (i.e ukuran) μ, diinterpretasikan sbg fungsi probabilitas, yang ditulis sbg P

4.  : himp fundamental himp yang menjadi DASAR proses yg akan dilakukan selanjutnya Kerangka dasar pembicaraan Konteks pembicaraan Semesta ?

5. -aljabar – teori ukur - probabilitas Perhatikan tripel (i.e 3-tupel) berikut: (X, Σ , μ) himp σ-aljabar ukuran (, F, P) ruang sampel himp kejadian probabilitas

6. Dalam ruang prob (, F, P) • Probabilitas Aksioma Kolmogorov : • P(E)  0  E F, dg F : ruang kejadian • P() = 1 • P(E1E2 …. ) = ,Ei Ej = , ij (σ-aditif) Akibat: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

7. Kenapa Kolmogorov membuat aksioma tsb ?

8. Dengan adanya aksioma, maka .. Kita dapat menurunkan sifat-sifat, teorema-teorema, .. yg sebelumnya dianggap saja benar ? Tentu saja, dia memperkenalkan dahulu teori ukur

9. Dari akibat di atas. (i) Jika A B, maka P(A)  P(B) (ii) P(AB)  P(A) + P(B) Perluasan (prinsip eksklusi-inklusi): P( \ E) = 1- P(E) Prob tdk terjadinya suatu kejadian adalah 1 – prob terjadinya kejadian tsb. Tugas / Latihan : , F, P

10. Diskrit:  = {x1, x2, ….. }, xi : kejadian elementer xi   berhub dgn prob f(xi), yg memenuhi • f(x)  [0, 1]  x • = 1 Unt kejadian berupa subhimp E dari ruang sampel , P(E) = f(xi) = pi ; xi = i f : fs massa prob = pmf

11. Kontinu x  berhub dgn prob f(x), yg memenuhi • f(x)  0  x Dlm hal f: RR, dlm interval [a, b] f : fs densitas prob = pdf f : Lebesque integrable

12. Dlm ruang prob (Ω, F, P), ukuran P : ukuran prob jika : • P non negatif • P (Ω) = 1 Jika F : -aljabar Borel, maka terdpt suatu ukuran prob pada F (i.e F) Prob himp E dalam -aljabar F adalah P(E) =

13. ….. Sampai di sini, sudahkan Anda tahu bhw dlm kuliah sarjana dahulu, f : fungsi (diskret) prob, memenuhi f(xi)  0, dan Untuk f kontinu, f(xi)  0, dan proses perampakan (generalisasi) dapat dilakukan ?

14. Probabilitas Bersyarat Dlm ruang prob (Ω, F, P) dan 2 kejadian A dan B (dg P(B) > 0), prob bersyarat.dari A dengan diberikannya B adalah Jika AB = , maka P(A|B) = P(A). sehingga P(AB) = P(A).P(B), P(B|A) = P(B) (i.e B bebas dari A). Benarkah ?

15. Probabilitas Bersyarat Dlm ruang prob (Ω, F, P) dan 2 kejadian A dan B (dg P(B) > 0), prob bersyarat dari A dengan diberikannya B adalah Jika A dan B saling bebas, maka P(A|B) = P(A). sehingga P(AB) = P(A).P(B), P(B|A) = P(B) (i.e B bebas dari A).

16. Probabilitas Bersyarat Kembali pada pertanyaan: Dari mana Teorema ? Perlu bukti Menggunakan teori ukur ? Menggunakan aksionma Kolmogorov ?. Definisi ?

17. Probabilitas Bersyarat Contoh sederhana : .. ……. Adakah perbedaan saling lepas, saling bebas Prob bersyarat P(A|B) = ….. Dapatkah ditunjukkan dgn pendekatan intuitif ? Demikian juga, A dan B saling bebas, P(A|B) = P(A)

18. Formula Bayes: Unt n kejadian H1, H2, …., Hn yg membentuk partisi thp  : Hi Hj = , ij, dan H1H2 …Hn=  dan suatu kejadian lain A, Prob P(Hk | A) (i.e prob posteriori dari Hk ), Tugas : Buktikan !

19. Latihan : Tujuan : - mengulang kembali apa yg telah diperoleh di S1 -memperkokoh pemahaman

20. Pertanyaan : Dapatkah Anda menjelaskan hubungan antara: -aljabar – teori ukur – probabilitas aksioma Kolmogorov fungsi probabilitas (diskret – kontinu) probabilitas bersyarat ?