EU-8-57 – DERIVACE FUNKCE XIII (globální i lokální extrémy funkce – úlohy na hledání extrémů)

1. EU-8-57 – DERIVACE FUNKCE XIII (globální i lokální extrémy funkce – úlohy na hledání extrémů)

2. DEFINICE GLOBÁLNÍHO MAXIMA Funkce f má na množině M  D(f) globální maximum v bodě x0tehdy, když pro každé x  M platí: f(x)  f(x0). • DEFINICE GLOBÁLNÍHO MINIMA Funkce f má na množině M  D(f) globální minimum v bodě x0tehdy, když pro každé x  M platí: f(x)  f(x0). • ZAJÍMAVÁ WEIERSTRASSOVA VĚTA Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu <a; b>, potom funkce f nabývá v intervalu <a; b> své největší a nejmenší hodnoty. To znamená, že • každá spojitá funkce v intervalu <a; b> má jistě globální extrémy; • existují čísla x1,x2 <a; b> taková, že pro všechna x  <a; b> platí f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2); • každá spojitá funkce v intervalu <a; b> je omezená shora i zdola (oboustranně).

3. Postup při hledání globálních extrémů na intervalu Postup při hledání globálních extrémů na intervalu Postup při hledání globálních extrémů na intervalu : : : i) i) i) hledání globálních extrémů na polouzavřených či otevřených inte hledání globálních extrémů na polouzavřených či otevřených inte hledání globálních extrémů na polouzavřených či otevřených inte rvalech rvalech rvalech , ab Postup při hledání globálních extrémů na intervalu : nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, na intervalu (,) ab i) , , , ab ab ab GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE V UZAVŘENÉM INTERVALU <a; b> (k hledání největší či nejmenší hodnoty funkce v intervalu <a; b> či definičním oboru funkce vede řada technických, přírodovědných, ekonomických i společenských problémů) Postup při hledání globálních extrémů funkce v intervalu <a; b>: 1) v intervalu (a; b) nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, 2) k nim přidáme krajní body intervalu, 3) pro všechny „podezřelé“ body určíme funkční hodnoty dané funkce, 4) z těchto čísel (viz bod 3) vybereme největší - v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxima, 5) z čísel (viz bod 3) vybereme nejmenší - v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, nabývá funkce na daném intervalu globálního minima. ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodů podezřelých, iii) pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované fun kce a seřadíme je podle velikosti. nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, na intervalu na intervalu na intervalu (,) (,) (,) ab ab ab iv) V bodě (bodech), v němž je f unkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globá lního maxi- ii) ii) ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodů k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodů k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodů podezřelých, podezřelých, podezřelých, ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globál ního minima. iii) iii) iii) pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované fun pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované fun pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované fun kce a seřadíme je podle velikosti. kce a seřadíme je podle velikosti. kce a seřadíme je podle velikosti. iv) iv) iv) V bodě (bodech), v němž je f V bodě (bodech), v němž je f V bodě (bodech), v němž je f unkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globá unkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globá unkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globá lního maxi- lního maxi- lního maxi- ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globál ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globál ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globál ního minima. ního minima. ního minima. Při Při Při , musíme věnovat zvýšenou , musíme věnovat zvýšenou , musíme věnovat zvýšenou pozornost krajním bodům pozornost krajním bodům pozornost krajním bodům

4. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Najděte absolutní extrémy funkce f: y = 2 x3 – 6 x + 10 v intervalu <a; b> = < – 3; 3>. y/ = 6 x2 – 6 y/ = 0  6 x2 – 6 = 0  6 (x2– 1) = 0  6 (x – 1) (x + 1) = 0  (x = 1  x = – 1) body podezřelé z lokálních extrémů jsou – 1, 1 y// = 12 x y// (– 1) = –12  funkce f má v bodě – 1 ostré lokální maximum; f(– 1) = 14 y// (1) = 12  funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum; f(1) = 6 Dále určíme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu <– 3; 3>. f(– 3) = – 26; f(3) = 46 Absolutní maximum funkce f v intervalu <– 3; 3> určíme výběrem největšího čísla z čísel 14; 6; – 26 a 46, což můžeme zapsat takto max (14; 6; – 26; 46) = 46 = f(3). Největší hodnoty (46) v intervalu <– 3; 3> nabývá funkce f v bodě 3. Absolutní minimum funkce f v intervalu <– 3; 3> určíme výběrem nejmenšího čísla z čísel 14; 6; – 26 a 46, což můžeme zapsat takto min (14; 6; – 26; 46) = – 26 = f(–3). Nejmenší hodnoty (– 26) v intervalu <– 3; 3> nabývá funkce f v bodě – 3. • ÚLOHA 1 (k samostatnému řešení) Najděte absolutní extrémy funkce f v intervalu <a; b> = < – 3; 2>. řešení úlohy

5. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 (Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, D. Hrubý, J. Kubát, 1997, strana 111, úloha 4.22) Na přímce p: y = 3 x – 1 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. Hledaný bod označme X, X  p, X [x; y]. Pro souřadnice bodu X musí platit rovnice y = 3 x – 1, tedy X [x; 3 x – 1]. Dále označme v = AX . Při průchodu bodem x = – 0,2 se mění znaménko derivace z minus na plus, v je tedy minimální. Ilustrativní úlohu 2 řešte metodou analytické geometrie. (řešení) • ÚLOHA 2 (k samostatnému řešení) Na přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. řešení úlohy

6. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3 Z papíru tvaru čtverce o straně a vystřihneme ve všech rozích stejné čtverečky a složíme krabičku. Určete stranu vystřiženého čtverečku tak, aby měla krabička maximální objem. Složená krabička bude mít hrany o rozměrech a – 2x, a – 2x, x. Objem složené krabičky označíme V. Při průchodu bodem x = a/6 se mění znaménko derivace z plus na minus, V je tedy maximální. Aby měla krabička o straně a maximální objem, musíme v rozích čtvercového papíru vystřihnout čtverečky o straně x. řešení úlohy • ÚLOHA 3 (k samostatnému řešení) Určete stranu čtverce, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 10 cm x 8 cm tak, aby po složení vznikla krabička maximálního objemu.

7. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 4 Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce splývala s osou kužele. Určete rozměry válce. Poloměr hledaného válce označíme x, jeho výšku y. Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka dostaneme: Objem vepsaného válce označíme V. Při průchodu bodem 4 se mění znaménko derivace z plus na minus, objem V vepsaného válce je tedy maximální. Rozměry válce jsou poloměr x = 4 cm, výška y = 1 cm. řešení úlohy • ÚLOHA 4 (k samostatnému řešení) Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce.

8. ÚLOHY K PROCVIČENÍ • Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 2 litry měla tato nádoba minimální povrch. • Určete rozměry válcové nádoby bez víka tak, aby při objemu 2 litry měla tato nádoba minimální povrch. • Do koule o poloměru 3 cm vepište válec maximálního objemu. Určete jeho rozměry. • Do koule o poloměru 3 cm vepište kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku kužele. • Kouli o poloměru 3 cm opište kužel minimálního objemu. Určete jeho rozměry. • Určete rozměry obdélníku tak, aby při daném obsahu 16 cm2 měl minimální obvod. • Určete rozměry obdélníku tak, aby při daném obvodu 20 cm měl maximální obsah. • Do ostroúhlého trojúhelníku ABC, c = 8 cm, vc = 4 cm vepište obdélník KLMN maximálního obsahu tak, aby KL  AB. Určete jeho rozměry. MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 111, úloha 4.22. ISBN 80-7196-063-2. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 161, úlohy 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75. ISBN 80-7196-099-3. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

9. ÚLOHA 1 (řešení úlohy) návrat Najděte absolutní extrémy funkce f v intervalu <a; b> = < – 3; 2>. y/ = x2 + x – 2 y/ = 0  x2 + x – 2 = 0  (x + 2) (x – 1) = 0  (x = 1  x = – 2) body podezřelé z lokálních extrémů jsou – 2, 1 y// = 2 x + 1 y// (– 2) = – 3  funkce f má v bodě – 2 ostré lokální maximum; f(– 2) = 22/3 y// (1) = 3  funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum; f(1) = 17/6 Dále určíme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu < – 3; 2>. f(– 3) = 11/2; f(2) = 14/3 max (22/3; 17/6; 11/2; 14/3) = 22/3 = f(– 2) Největší hodnoty (22/3) v intervalu <– 3; 2> nabývá funkce f v bodě – 2. min (22/3; 17/6; 11/2; 14/3) = 17/6 = f(1) Nejmenší hodnoty (17/6) v intervalu <– 3; 2> nabývá funkce f v bodě 1.

10. ÚLOHA 2 (řešení úlohy) Na přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. návrat Hledaný bod označme X, X  p, X [x; y]. Pro souřadnice bodu X musí platit rovnice x + 3 y – 3 = 0, tedy Dále označme v = AX . Při průchodu bodem x = 1,8 se mění znaménko derivace z minus na plus, v je tedy minimální.

11. návrat • ÚLOHA 3 (řešení úlohy) Určete stranu čtverce, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 10 cm x 8 cm tak, aby po složení vznikla krabička maximálního objemu. Při průchodu bodem x2 se mění znaménko derivace z plus na minus, objem V krabičky je tedy maximální. graf

12. Návrat na řešení úlohy

13. návrat • ÚLOHA 4 (řešení úlohy) Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce. Poloměr hledaného válce označíme r, jeho výšku v. Objem vepsaného válce označíme V. Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka dostaneme: Pro r = 1 cm a v = 4 cm je objem válce maximální, V = 4 .

14. ÚLOHA 2 (řešení ilustrativní úlohy 2 metodou analytické geometrie) Na přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. návrat Hledaný bod označme X, X  p, X [x; y].