1 / 31

MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

MODUL 3 TURUNAN FUNGSI. TURUNAN FUNGSI. Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh :. Notasi dan pengertian turunan fungsi. Gradien garis singgung. Kecepatan sesaat. jika limitnya ada. Laju massa per satuan waktu. y. f(x+h).

rich
Download Presentation

MODUL 3 TURUNAN FUNGSI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MODUL 3TURUNAN FUNGSI Modul V : Turunan Fungsi

  2. TURUNAN FUNGSI Turunan fungsi f ditulis f’ adalah fungsi lain yang didefinisikan oleh : Notasi dan pengertian turunan fungsi Gradien garis singgung Kecepatan sesaat jika limitnya ada Laju massa per satuan waktu y f(x+h) Laju perubahan panas per satuan waktu f(x+h)-f(x) Perubahan entalpi akibat perubahan temperatur f(x) h Perubahan tekanan akibat perubahan volume x x x+h Modul V : Turunan Fungsi

  3. Contoh Menghitung Turunan: Hitung f’(x) Jawab : f(x+h) = 3(x+h)2 – 4(x+h)+6 = 3x2+ 6xh + 3h2 – 4x – 4h + 6 f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 – 4h = 6x - 4 Modul V : Turunan Fungsi

  4. Menghitung Turunan Grafik fungsi f(x) Y=1.5x2–4x+6 Y=5-(x-3)2 Y=4x-x2 Y=2 Y=-2(x-3) Y=2x Y=4-2x Y=3x-4 Modul V : Turunan Fungsi

  5. Rumus Dasar Turunan Fungsi Contoh-contoh (1). y=5x4 + 5x - 10 (2). y = (x4 + 10)(x5 – 5) u=x4+10 u′=4x3 v=x5 – 5 v′=5x4 y' = u' v + uv‘ = (4x3)(x5–5)+(x4+10)(5x4) y=uv  y' = u' v + uv' v=x4 + 3 v′=4x3 u=x3+4 u′=3x2 Modul V : Turunan Fungsi

  6. Aturan Rantai Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7 Misalkan diberikan, y = (x4 + 3)6 u=g(x) v=h(u) u=g(x) y=f(u) y=f(v) x u=x4+3 y=u6 u=x4+1 v=4+3u5 y=v7 x Rumus Umum y=f(u), u = g(x)  y=f(g(x)) Rumus Umum y=f(v), v = h(v), u = g(x)  y=f{h[g(x)]} Modul V : Turunan Fungsi

  7. SOAL LATIHAN Modul V : TurunanFungsi

  8. Denganmenggunakanrumus-rumusaturanrantaihitunglah, dy/dx Modul V : Turunan Fungsi

  9. Rumus Dasar Turunan Trigonometri Contoh-contoh Hitunglah y′ dari : Jawab u=x, v=x+sec2x u′=1, v′=1+2sec2x tan x Hitunglah y′ dari : y=x4 sin 3x Jawab u=x4, v=sin 3x u′=4x3, v′=3 cos 3x y′ = u v′ + u′v = x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3x Modul V : Turunan Fungsi

  10. Hitunglah y′ dari : y = cos4(x2 + 1) Jawab: y= [cos(x2+1)]4 Hitunglah y′ dari : y = cos(x2 + 1)4 Jawab: x u=x2+1 v=cos u y=v4 x u=x2+1 v=u4 y=cos v = 4(cos u)3 {–sin(x2+1) } (2x) = 4 [cos(x2+1)]3 {–sin(x2+1)} (2x) = (-sin u4){4(x2+1)3}(2x) = -sin(x2+1)4{4(x2+1)3}(2x) Hitunglah y′ dari : Jawab: v=u4 w=sec v x y=w3 Modul V : Turunan Fungsi

  11. 6. y = sin(2 – 3x + x3) 7. y = cos(4 – 8x + x6) 8. y = tan(x + sin x) • y = sin(x2) cos2 x • y = (1 + x2)5 sec(1 + x2) • y = tan(x2 + 1)5 12. y = cot5(x3 + 1) 13. y = (x2 + sin2x)5 14. y = sec5(tan7(1 + x2)) • y = (3x + x3)4 sin2 x • y = sec3(2x – x2)6 • y = sin3[cos5(x– 3x2)] 18.y = sin3x tan4x 19. y = sec3x tan2x 20. y = cos3x cot4x Dalamsoallatihanhitunglahturunandy/dx, untukfungsi-fungsiberikutini. Modul V : Turunan Fungsi

  12. Penurunan Secara Implisit Persamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi ------------------------------------------------------------------------------------------------- (1). y = x3 – sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar (2). x3 + y3 – 3xy2 = 3x2yImplisit ------------------------------------------------------------------------------------------------- • Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit adalah : • Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada persamaan, • Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang lain di ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 – 3xy2= 3x2y Jawab : Modul V : Turunan Fungsi

  13. Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi Modul V : Turunan Fungsi

  14. Dalam soal-soal berikut ini tentukan turunan pertama, kedua, dan ketiga dari : Tentukan rumus turunan orde-n dari : Modul V : Turunan Fungsi

  15. SoallatihanKhusus Soal 1. Diketahui, tan y = (x+b)/a, hitungturunanpertama, keduadanketigadari x+b y a Soal 2. Hitungturunanpertama, keduadanketigadari x+b a Modul V : Turunan Fungsi

  16. Deferensial dan Hampiran Diferensial. Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy didefinisikan oleh : dy = f(x) dx Hubungan antara diferensial dan turunan adalah : 1) Karena dy = f(x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx, dihasilkan : Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan hasil bagi dua diferensial. • Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan mengalikan dengan dx. • Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel x dan y variabel bebas Modul V : Turunan Fungsi

  17. Hampiran Perhatikanlah sketsa berikut ini • Soal-soal • Sebelum tangki berbentuk silinder dengan ujung-ujungnya berbentuk setengah bola. Silinder panjangnya 100 cm dan jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat yang diperlukan untuk melapisi bagian luar tangki dengan ketebalan 1 milimeter. • Semua sisi kotak baja berbentuk kubus tebalnya 0,25 inci, dan volume kotak sebelah dalam adalah 49 inci kubik. Gunakanlah diferensial untuk mencari aproksimasi volume baja yang digunakan untuk membuat kotak. f(x+x) y dy f(x) x+x x Jikaxmendapattambahanx, makaymendapatkantambahansebesary, dimanadapatdihampiriolehdy, dimanay = f(x + x) – f(x). Jadi: f(x + x) f(x) + dy = f(x) + f(x) x Modul V : Turunan Fungsi

  18. FUNGSI TRANSENDENT FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli ditulis ln adalah fungsi yang didefinisikan oleh, y Sifat-sifat Logaritma Asli Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka : (1). ln 1 = 0 (2). ln ab = ln a + ln b R t t=1 t=x Menurut definisi integral tentu : A(R) = 0, jika x = 1 A(R) > 0, jika x >1 A(R) < 0, jika x < 1 Modul IX Fungsi Transendent

  19. Turunan Fungsi Logaritma Asli Dengan menerapkan Teorema dasar Kalkulus dihasilkan Contoh : Hitungdy/dxdari y= ln(1 + x2)(1 + x3) Jawab : Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3) Jika u fungsi dari x yang diferensiabel dan u(x) > 0, maka Cara 2. Dengan sifat logaritma y = ln(1 + x2)(1 + x3) = ln(1+ x2) + ln(1+x3) Maka : Contoh : Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5) Jawab : Ambil, u = x2 + 4x + 5. Modul IX Fungsi Transendent

  20. Grafik Fungsi Logaritma • sifat-sifat fungsi logaritma asli, yaitu : • Fungsi kontinu si semua bilangan riil yang terletak pada daerah asal, x > 0 • Grafik fungsinya naik pada seluruh daerah asal, karena f(x) = 1/x selalu positif atau lebih besar 0. • Grafik fungsinya cekung terbuka kebawah untuk semua titik pada daerah asal, karena f(x) = –1/x2 selalu negatif atau lebih kecil dari 0 • Asimtot grafik adalah sumbu y negatif, dan grafik fungsinya terketak pada kuadran keempat Contoh grafik fungsi logaritma y y = x ln x y=ln x x Modul IX Fungsi Transendent

  21. ContohGrafik Y = 100 x–2ln x Modul IX Fungsi Transendent

  22. DiferensialLogaritmik Menghitungturunanfungsidenganmenggunakansifat-sifatlogaritmadanpenurunanfungsisecaraimplisit Contoh : Hitunglahdy/dxdari y = x3 cos4x (1 + sin x)5 Jawab : lny = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5} = lnx3+ ln cos4x+ln(1 + sin x)5 = 3 lnx+4 lncosx+5ln(1+sin x) Diferensialsecaraimplisit Contoh : Hitung dy/dx dari Jawab Diferensial secara implisit Modul IX Fungsi Transendent

  23. FUNGSI EKSPONENSIAL ASLI Fungsieksponensialasliditulis exp(x) didefinisikanoleh : y = exp(x) = ex x = ln y Sifat-sifateskponensialasli : (1). exp(ln x) = eln x = x, x > 0 (2). ln(expx) = ln(ex) = x, (3). e0 = 1 (4). ln e = 1 (5). eaeb = ea+b (6). (ea)b = eab Sketsa grafik y y=ex y=x y = ln x Modul IX Fungsi Transendent

  24. Rumus turunan Contoh : Hitunglah turunan ketiga dari Jawab Dengan aturan rantai, dihasilkan Contoh : Hitunglah dy/dx dari Jawab Misalkan, u = x4 ln x, y = eu Maka : Modul IX Fungsi Transendent

  25. Contoh : sketsa grafik fungsi, y = 4 x2 e–0.5x Modul IX Fungsi Transendent

  26. Soal-soallatihan Hitunglahturunanpertama, keduadanketigadari :

  27. SoalLatihan : Hitunglah dy/dx dari : Modul IX Fungsi Transendent

  28. FUNGSI INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI Definisi : (1). y = sin–1x  x = sin y (2). y = cos–1x x = cos y (3). y = tan–1x x = tan y (4). y = sec–1x x = sec y (5). y = csc–1x x = csc y (6). y = cot–1x x = cot y Catatan : (i). cos–1x= arc cos x (ii). cos–1x  (cos x)–1 Grafik Fungsi Invers Trigonometri y y=tan–1 x x y=sin–1x Modul IX Fungsi Transendent

  29. RumusUmumTurunanFungsiInversTrigonometri Contoh Hitunglahturunanketigadari y=x2 sin–1x + x Jawab : Modul IX Fungsi Transendent

  30. Contoh Hitunglahturunanketigadari y= 2x2 tan–1x – x ln(1+ x2) Jawab : Contoh Hitunglah turunan dari Jawab : = 4x tan–1x – ln(1+ x2) y = sec–1v Modul IX Fungsi Transendent

  31. SOAL-SOAL LATIHAN Tentukanlahturunanpertamakeduadanketigadari, Modul V : Turunan Fungsi

More Related