Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 17 Stimatori bayesiani e allocazione del portafoglio

Measurement risk • Stimatori di Bayes-Stein “ammissibili” • “Shrinkage estimators” per la riduzione del rischio di misurazione: portafoglio di minima varianza e altri. • Modello di Black e Litterman per condizionare i ritorni attesi alle “views”

Rischio campionario e allocazione del portafoglio • Nell’allocazione del portafoglio standard assumiamo che la stima del primo e secondo momento non sia affetta da errore campionario. Cioè dove  è il vettore dei parametri.

Rischio campionario • In realtà, il problema di allocazione del portafoglio dovrebbe essere scritto e l’investitore dovrebbe tenere in considerazione non solo la densità dei rendimenti condizionati delle stime ma anche la densità delle stime stesse (“predictive density”)

Stimatori di James-Stein • James e Stein proposero di scegliere stimatori basati su • Una funzione di perdita che misura la distanza di ciascuna stima dal valore vero.. • Una funzione di rischio che calcola il valore medio della funzione di perdita sui campioni • Gli stimatori “ammissibili” minimizzano tale funzione

Stimatori di James-Stein • Nel caso in cui • I risultati sono distribuiti normalmente: r~ N(,V) • La funzione di perdita è quadratica • James e Stein provarono che lo stimatore ammissibile è JS = (1 – ) ^ + rPe dove rp è uno scalare e e è il vettore unitario

Stimatori di James e Stein • James e Stein provarono che nel caso precedente • Quindi, nel caso N > 2, può succedere che la media del campione non è uno stimatore “ammissibile”. Correggere la stima con uno “shrinking factor” rP può ridurre la “risk function”.

Shrinkage estimators • L’applicazione del metodo James-Stein alla stima del rendimento atteso è stata proposta da Jorion (1986). • L’idea è di pesare il campione dei rendimenti attesi con qualche “shrinking factor” per ridurre l’impatto degli “outliers” sulla stima. • Lo “shrinking factor” può essere stimato dai dati stessi.

Lo stimatore Jorion Bayes-Stein • Jorion propose: • La scelta di rP come il portafoglio di minima varianza • La scelta di  = /( + T), dove T è il numero delle osservazioni. •  è un parametro di precisione compreso tra 0 (“flat prior”) e infinito (tutto il peso sullo shrinking factor). •  può anche essere ricavato dai dati (Jorion prova che ha distribuzione gamma)

Altri “shrinking factor” • Nell’allocazione del portafoglio diversi shrinking factor sono stati proposti • Il rendimento del portafoglio di minima varianza • Il rendimento del portafoglio “equally weighted” • Sono disponibili altre scelte, che sfruttano altre fonti di informazione.

Informazione • In applicazioni in finanza dobbiamo sempre ricordare che ci sono almeno 3 diverse fonti di informazioni. • Informazione storica (time series) • Informazione implicita (cross section analysis) • Informazione “In house” (ricerche di mercato, “views”) • Capire quali di queste fonti contiene la maggiore informazione, e possibilmente incrociarle è la questione centrale.

Rappresentazione delle “views” • Possiamo considerare due tipi di “view” • View assolute: ei’r + i = qi . • View relative (ei – ej)’r + j = qj . dove ei è la i-esima colonna della matrice identità, qi è la view e iè una variabile casuale con media zero e varianza che rappresenta il grado di precisione della view. • Possiamo raccogliere in forma matriciale ei’ and (ei – ej) in una matrice P e le view e il loro grado di precisione in vettori  e q: P’r +  = q

Black e Litterman • Black e Litterman proposero un approccio per usare queste informazioni in asset management. • Assumiamo che sia il rendimento che le view abbiano distribuzione normale congiunta, con covarianza dei rendimenti V e covarianza delle “view”  ~

Distribuzione condizionale • La distribuzione condizionale nel caso gaussiano è anch’essa normale con • Media:  + VP’[ PVP’ + ]-1(q – P) • Varianza: V – VP’ [ PVP’ + ]-1PV • Si noti che il risultato può essere interpretato come una regressione lineare del vettore dei rendimenti r sulle “view” q. I coefficienti di regressione sono infatti cov(r,q)/ var(q) =VP’[ PVP’ + ] -1.

Legame con gli stimatori “shrinkage” • Paradosso di James-Stein: per un sistema di dimensione  3, la media del campione può non essere la scelta migliore per massimizzare la capacità previsiva (admissibility). • Proposte di “shrink” della stima prendendo la media tra la stima storica e un valore fisso, che rappresenta una sorta di “ancora” contro gli oulier. • Media del portafoglio di minima varianza (Jorion) • Media del portafoglio “equally weighted” (Jacquillat-Rolfo) • Media delle “views”: Black and Litterman

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