Ecuaciones diferenciales de 1 er orden :

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden : Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una expresión del tipo siguiente: El problema que se suele presentar es el de calcular una función y = f(x) tal que verifique la ecuación anterior con una condición de contorno: y(x0) = y0. El siguiente Teorema de Cauchy sólo garantiza la existencia y unicidad de la solución bajo las siguientes condiciones restrictivas:

2. Una función se dice que es analítica si es derivable un número infinito de veces: Teorema de Cauchy: Si f(x,y) es analítica en un dominio que contiene al punto (x0,y0), existe una, y sólo una, función analítica y(x) que verifique la ecuación: con la condición de contorno: Una condición, menos exigente, para que exista solución y sea única (aunque no necesariamente analítica)es que se satisfaga una condición de Lipschitz:

3. Supongamos que tenemos una función f(x,y) definida en un dominio del plano XY. Se dice que la función f(x,y) satisface una condición de Lipschitz (respecto de y) en el dominio si esixte una constante M >0 tal que: para todos los puntos (x,y1) y (x,y2) que pertenezcan al dominio. La constante M se llama constante de Lipschitz. Una condición suficiente para que se pueda verificar una condición de Lipschitz es que exista ∂f/∂y y esté acotada en el dominio, D. Si es así, Efectivamente, se satisface una condición de Lipschitz (respecto de y) en el dominio, D, y la constante viene dada por:

4. En efecto: con lo cuál:

5. Ejemplo: Supongamos el dominio D definido del siguiente modo: y la función f(x,y) dada por : como ∂f/∂y existe y está acotada en el dominio D:

6. En efecto: Sin embargo, aunque esta condición (sobre la derivada parcial) es una condición suficiente, no es necesaria, como se ve en el ejemplo siguiente: que cumple una condición de Lipschitz: a pesar de que la derivada parcial ∂f/∂y no existe en los puntos (x,0)

7. Método de Euler: Es un método sencillo para la integración de ecuaciones diferenciales de primer orden. Sea: con la condición de contorno: Supongamos que y(x) es la solución exacta del problema. Si tomamos un x lo suficientemente próximo a x0, podemos tomar la siguiente aproximación:

8. Así, si, por ejemplo, tomamos un x1 = x0+h, podemos calcular el valor correspondiente y1 = y(x1) del siguiente modo: Si ahora quisiéramos calcular la solución en un punto ulterior, partiríamos ahora de: con la nueva condición (aproximada) de contorno:

9. Utilizar el método de Euler para aproximar el valor de la solución de la siguiente ecuación diferencial en los puntos x = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1, usando h = 0.2 y h = 0.1. h = 0.2

11. h = 0.1

13. Vemos que obtenemos valores distintos de los que habíamos calculado para h = 0.2. Cuanto menor sea h, mejor será la aproximación (aunque también más laboriosa). Para un h constante el error será tanto mayor cuanto más nos alejemos del punto inicial, como puede apreciarse en la gráfica siguiente en la que comparamos las dos soluciones aproximadas con la solución exacta.

15. Método de Euler modificado: La solución exacta de la ecuación diferencial de primer orden: en el punto x1 vendría dada por la siguiente expresión: En el método de Euler sencillo que vimos anteriormente tomábamos la siguiente aproximación:

16. Esta aproximación es equivalente a suponer que en el integrando de la solución exacta f(x,y) es constante e igual a su valor en el extremo inferior de la integral, es decir, f(x, y) = f(x0,y0): Parecería más razonable el pensar que obtendríamos un valor más preciso si aproximáramos la integral de f(x,y) por un promedio de sus valores en los dos extremos de la integral en vez de tomarla igual a su valor en el extremo inferior. Sin embargo, de esa manera, nos encontraríamos con el problema de que, para calcular y1 necesitamos saber su valor para evaluar f(x1,y1).

17. El problema se solventa del siguiente modo: Primero se obtiene una aproximación de y1 usando el método de Euler sencillo: a continuación, se usa esta aproximación sencilla para calcular f(x1,y1(0)) y así poder tomar la siguiente nueva estimación para el valor de y1 : naturalmente, podríamos utilizar esta nueva aproximación para obtener otra: y así, podríamos iterar hasta obtener una aproximación definitiva.

18. Una vez que estimemos que tenemos una estimación sensata de y1 repetiríamos el procedimiento para calcular y2:

19. Utilizar el método de Euler modificado para aproximar el valor de la solución de la siguiente ecuación diferencial en los puntos x = 0.2 y 0.4, usando h = 0.2 y con tres decimales de aproximación: h = 0.2

20. Luego, con tres cifras decimales, tendríamos:

22. Luego, con tres cifras decimales, tendríamos:

23. Algoritmo de Taylor: Una forma alternativa de mejorar el método de Euler sería tomar más términos en el desarrollo de Taylor de la solución exacta: Esto se puede hacer del modo siguiente: Partiendo de: y derivando respecto a x nos queda que:

24. En lo siguiente, empleamos la siguiente notación abreviada: si seguimos derivando: y así, podríamos continuar calculando derivadas de orden más alto. Si f admitiera derivadas de cualquier orden (es decir, si fuera, analítica), podríamos calcular la solución de este modo (Teorema de Cauchy).

25. Si aplicamos este método al problema que teníamos: Luego, la solución se puede escribir como:

26. Sin embargo, en el caso general, este método puede resultar bastante laborioso, tal y como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

28. Por tanto, haciendo las sustituciones oportunas: con lo que la solución puede escribirse como:

29. Método de Picard (de las aproximaciones sucesivas): Como ya vimos anteriormente, la solución exacta de la ecuación diferencial de primer orden: en el punto x vendría dada por la siguiente expresión: Si conociéramos y(x), sustituyéndola en el integrando de la ecuación anterior, obtendríamos una identidad trivial. Si partiéramos de una solución aproximada, y0(x), podríamos introducirla en el integrando para calcular una nueva aproximación (mejorada) y1(x). Integrando esta nueva aproximación, se puede obtener otra nueva, y2(x), y así sucesivamente.

30. Generalmente, la primera aproximación que se suele tomar es hacer y0(x) constante e igual a la condición de contorno: y0(x) = y(x0). Si la convergencia no fuera buena, podrían ensayarse aproximaciones iniciales mejores, mediante el método de Euler (o el de Euler modificado). Cuando las integrales se efectúan de forma numérica, estos métodos se conocen con el nombre de métodos de Adams-Bashforth.

31. Utilizar el método de Picard con el problema siguiente:

35. Utilizar el método de Picard con el problema siguiente:

38. Utilizar el método de Picard con el problema siguiente:

41. Método de Runge-Kutta (de cuarto orden): Los llamados métodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos para calcular aproximaciones númericas del valor de la solución de: en puntos de la forma siguiente: con muy buena precisión, sin que, para ello, sea necesario que los h sean muy pequeños. El procedimiento consta de los siguientes pasos:

42. Para calcular un valor aproximado de la solución y1en el punto x1 = x0 + h, se calculan los siguientes números: y entonces se toma:

43. Procediendo del mismo modo, calcularíamos el valor aproximado de la solución, y2, en el punto x2 = x1 + h:

44. Y así, sucesivamente, para el punto enésimo, tendríamos xn = xn-1 + h:

45. Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema siguiente para calcular la solución aproximada en x = 0.2 y x =0.4: h = 0.2:

48. Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema siguiente para calcular la solución aproximada en x = 0.1 y x =0.2: h = 0.1: