vwo A Samenvatting Hoofdstuk 12

1. vwo A Samenvatting Hoofdstuk 12

2. Herhaling richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB y • rechts • ∆x · B • omhoog • ∆y yB yB – yA = ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x 0 xA xB x xB – xA= ∆x 12.1

3. . Differentiequotiënt en differentiaalquotiënt y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt is ∆y : ∆x is de gemiddelde verandering van y op [xA, xB] is r.c. of helling van de lijn AB ∆yyB – yA f(b) – f(a) ∆xxB – xAb - a = = 12.1

4. . . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . Snelheid en richtingscoëfficiënt . • tijd-afstand grafiek • v.b. : s = -t² + 10t • De gemiddelde snelheid op [2,5] • ∆s 25 – 16 • ∆t 5 – 2 • ∆s 24 – 16 • ∆t 4 – 2 • ∆s 21 – 16 • ∆t 3 – 2 • ∆s 18,75 – 16 • ∆t 2,5 – 2 • b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s A 15 = = 4 m/s Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. = 5 m/s = 5 = 5,5 m/s = t 0 1 2 3 4 5 12.1

5. dydx voor x is xA Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : De GR bezit een optie om dydx te berekenen. [ ] y k dy dx x = xA A • rc. van de raaklijn van de grafiek in A. • Helling van de grafiek in A. • Snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 12.1

6. Differentiëren • Regels voor het differentiëren : • f(x) = a geeft f’(x) = 0 • f(x) = ax geeft f’(x) = a • f(x) = axn geeft f’(x) = n·axn-1 voor n = 2,3,… • f(x) = c·g(x) geeft f’(x) = c·g’(x) • f(x) = g(x) + h(x) geeft f’(x) = g’(x) + h’(x) somregel 12.1

7. Raaklijn en afgeleide y f Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc. van de raaklijn in het bijbehorende punt. Algemeen : f’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)). k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 12.1

8. Snelheid en afgeleide y De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc. van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc. = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide. f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. A f(a) rc. = f’(a) x O a 12.1

9. De afgeleide van y = axn Oude exponent ervoor zetten. • f(x) = ax3 • f’(x) = 3ax² • g(x) = ax4 • g’(x) = 4ax3 • h(x) = ax5 • h’(x) = 5ax4 • Algemeen geldt : • k(x) = axn • k’(x) = n·axn - 1 Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3). 12.2

10. Extreme waarden berekenen met de afgeleide • Werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden • 1) Bereken f’(x) • 2) Los algebraïsch op f’(x) = 0 • 3) Voer de formule van f in op de GR. • Plot en schets de grafiek. • Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. • 4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en • noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … • en min. is f(…) = … Raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0. 12.2

11. In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. • Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn : • Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? • Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? • Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.3

12. Optimaliseringsproblemen • Werkschema: het algebraïsch oplossen van optimaliseringsproblemen • Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen. • Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 1. • Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele. • Schrijf G als functie van één variabele door 2 en 3 te combineren. • Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden. 12.3

13. Marginale kosten • De marginale kosten MK • is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1 • benader je door de afgeleide . dK dq 12.4

14. Gemiddelde kosten Kq • De gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product, dus GK = • De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt. • Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor. • GW = en GR = • GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt. R q Wq 12.4

15. De kettingregel De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels. • Kettingregel : • Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie • y = f (x) als volgt te werk. • Schrijf f als een ketting van twee functies. • Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. • Druk het product van de afgeleide functies uit in x. 12.5