vwo B Samenvatting Hoofdstuk 12

1. vwo B Samenvatting Hoofdstuk 12

2. Omtrekshoeken Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt ACB = ADB Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde kant van AB ligt als punt C en ADB = ACB, dan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB. 12.1

3. Definitie omtrekshoek en middelpuntshoek: • Als A, B en C op een cirkel liggen met middelpunt M, dan is • ACB een omtrekshoek op de boog AB waar C niet op ligt. • AMB is de bijbehorende middelpuntshoek. • Stelling van de omtrekshoek: • Een omtrekshoek is de helft van de bijbehorende middelpuntshoek. • Stelling boog en koorde: • Bij gelijke bogen horen gelijke koorden. 12.1

4. De driehoeksongelijkheid • De driehoeksongelijkheid: • Als drie punten A, B en C niet op één lijn liggen, dan geldt AB + BC > AC. • Uit de driehoeksongelijkheid volgt: • Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de beide andere zijden. 12.2

5. Bewijs uit het ongerijmde • Werkschema: bewijs uit het ongerijmde • Formuleer het Gegeven en het Te bewijzen. • Veronderstel dat het Te bewijzen niet juist is. • Toon aan dat deze veronderstelling leidt tot een tegenspraak. • Uit deze tegenspraak volgt dat het Te bewijzen juist is. • Met het bewijs uit het ongerijmde bewijzen we de stelling van een raaklijn • aan een cirkel. • Definitie van raaklijn aan cirkel: • Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die precies • één punt gemeenschappelijk heeft met de cirkel. • Stelling van raaklijn aan cirkel: • Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht • op de straal naar het raakpunt. 12.2

6. Hoek tussen koorde en raaklijn • Stelling van de hoek tussen koorde en raaklijn: • De hoek tussen een raaklijn aan een cirkel en een koorde van die cirkel • waarvan een eindpunt het raakpunt is, is even groot als de niet-stompe • omtrekshoek die bij deze koorde hoort. 12.2

7. Afstand van punt tot gebied • Onder een gebied verstaan we een gedeelte van het vlak waarbij de • rand tot het gebied behoort. • We noteren de afstand van P tot G als d(P, G). • d(P, G) = PQ • Definitie afstand van punt tot gebied: • De afstand van een punt P tot een gebied G is de lengte van het kortste • verbindingslijnstuk tussen P en een punt van G. • Stelling van afstand punt tot lijn: • De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk • vanuit dat punt op die lijn. 12.3

8. Middelloodlijn, bissectricepaar, middenparallel en cirkel • Een verzameling punten die dezelfde meetkundige eigenschap • hebben heet een meetkundige plaats. • In de volgende opsomming zijn A, B en M punten en zijn k en l lijnen. • De verzameling van de punten P waarvoor geldt • d(P, A) = d(P, B) is de middelloodlijn van het lijnstuk AB • d(P, k) = d(P, l) is het bissectricepaar van k en l • als k en l snijdende lijnen zijn • d(P, k) = d(P, l) is de middenparallel van k en l • als k en l evenwijdige lijnen zijn • d(P, M) = r is de cirkel met middelpunt M en straal r 12.3

9. De parabool als meetkundige plaats • Het punt F heet het brandpunt van de parabool • en de lijn l heet de richtlijn van de parabool. • Definitie van de parabool: • Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden • tot een lijn en een punt dat niet op die lijn ligt. • d(P, F) = d(P, l) • Werkschema: het tekenen van punt P van parabool • met brandpunt F en richtlijn l. • Teken een punt V op l. • Teken door V de loodlijn k op l. • Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV. • Het snijpunt van k en m is het punt P. 12.3