vwo C Samenvatting Hoofdstuk 12

1. vwo C Samenvatting Hoofdstuk 12

2. Grafen, punten en wegen • Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer verbonden zijn door wegen. • Een graaf met één of meer eenrichtingswegen heet een gerichte graaf. • Als er in een graaf getallen staan bij de wegen, dan heet zo’n graaf een gewogen graaf. 12.1

3. Afstandmatrix • Veel problemen zijn met een graaf te visualiseren, zoals het zoeken van een kortste route. • Het is daarbij verstandig de gegevens van de graaf in een tabel op te slaan. • Vaak noteren we de afstandtabel zoals in het schema ernaast. • Zo’n schema heet een matrix. • Een matrix is een rechthoekig schema van getallen, waarbij links en rechts grote haken staan. • De afstandmatrix M heeft 4 rijen en 4 kolommen. 12.1

4. Verbindingsmatrix • In de geografie worden grafen gebruikt om de onderlinge bereikbaarheid van steden, landen of gebieden te bestuderen. • Daarbij speelt het begrip verbindingsmatrix van een graaf een centrale rol. • In een verbindingsmatrix staan enen en nullen. • Een 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is tussen twee punten van de graaf. • Een nul geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is. 12.1

5. In de verbindingsmatrix van een graaf staan enen en nullen. • 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is. • 0 geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is. • Bij een graaf waarin elk tweetal punten rechtstreeks met elkaar verbonden is, is sprake van maximale verbondenheid. • Er is sprake van minimale verbondenheid in een graaf als door het weglaten van welke weg dan ook een niet-samenhangende graaf ontstaat. 12.1

6. Directe-wegenmatrix • In de directe-wegenmatrix staat het aantal rechtstreekse wegen tussen elk tweetal wegen. 12.1

7. De afmeting van een matrix • De matrix M is een voorbeeld van een datamatrix. • In een datamatrix zijn waarnemingsgetallen opgeslagen. • De matrix M heeft drie rijen en vier kolommen. • Er zijn 12 elementen. • We zeggen dat de matrix M de afmeting 3 × 4 heeft. • m32 = 70 • Een n × m-matrix M heeft n rijen en m kolommen. • Het element mij is het getal in de i-de rij en de j-de kolom van M. • Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. • De hoofddiagonaal bestaat uit b11 , b22 … • Een vierkante matrix B is symmetrisch als geldt bij = bji. 12.2

8. Het vermenigvuldigen van matrices Je kunt het product van de matrices V en W alleen berekenen als het aantal kolommen van V gelijk is aan het aantal rijen van W. • De matrix K in opgave 23 heet de productmatrix van V en W. • Dus V· W = K. 12.2

9. Machten van een matrix • Een vierkante matrix met op de hoofddiagonaal uitsluitend enen en alle • andere elementen gelijk aan nul, heet een eenheidsmatrix. 12.2

10. Machten van een overgangsmatrix • De getallen in de graaf in figuur 12.28 zijn de kansen op de verschillende • overgangen per week. • Bij deze graaf hoort de overgangsmatrixM. • In een overgangsmatrix is de som van de getallen in elke kolom gelijk aan 1. • Geeft M de kansen op de overgangen per week, • dan geeft M n de kansen op de overgangen per n weken. 12.3

11. Het doorrekenen van populaties • In een gebied verschijnen de regionale dagbladen de Ster en de koerier. • Hiernaast staat informatie over het verloop • van de abonnees tussen deze dagbladen. • Bij deze situatie horen twee matrices, • namelijk de overgangsmatrix V en de kolommatrix • Hieronder staat de berekening van de productmatrix V· B • Geeft de overgangsmatrix V de overgangen per tijdseenheid • en de kolommmatrix B de populatie op t = 0, • dan geeft V n · B de populatie op t = n. 12.3

12. Markow-keten • Een Markow-keten is een serie zichzelf herhalende onahankelijke kansexperimenten. • Je houdt daarbij steeds dezelfde overgangsmatrix. • We gaan ervan uit dat aan enkele randvoorwaarden is voldaan. • Zo komen er bijvoorbeeld geen nieuwe klanten bij. • Er is sprake van een gesloten systeem. 12.3

13. Stabilisatie • In opgave 43 had je te maken met de overgangsmatrix M. • Neem aan dat 40% van de klanten voor map A kiest en dus 60% voor map B. • Hierbij hoort beginsituatie P. • Met de GR is de verdeling van de aantallen voor de komende weken berekend. • Er ontstaat een evenwichtstoestand. • Het blijkt dat je onafhankelijk van de beginverdeling telkens dezelfde evenwichtstoestand krijgt. • Er treedt dus stabilisatie op. • Voorwaarde is dat de overgangsmatrix M of één van zijn machten geen enkele nul bevat. 12.3

14. Populatievoorspellingsmatrix (Lesliematrix) • De Engelsman Leslie ontwikkelde een model om de groei van een populatie te bestuderen. • De populatie wordt daarbij verdeeld in n leeftijdsklassen die elk k jaar lang zijn. • In de populatievoorspellingsmatrix staan vruchtbaarheidscijfers en overlevingskansen. • In de eerste rij staan de vruchtbaarheidscijfers. • Zo is l14 het gemiddeld aantal nakomelingen van een exemplaar uit klasse IV in een periode van k jaar. • De andere getallen ongelijk aan nul van L zijn de overlevingskansen. • Zo is l43 de kans dat een exemplaar uit klasse III na k jaar in klasse IV zit. • Soms is de klassenbreedte van de oudste leeftijdsklasse groter dan k jaar, • in dat geval is het element lmn van L ongelijk aan nul. 12.4

15. Berekeningen met Lesliematrices • De Lesliematrix L hieronder hoort bij een populatie vissen die is ingedeeld in drie leeftijdsklassen van elk één jaar. • Op t = 0 is de bevolkingssamenstelling gegeven door de matrix P. • De matrix • L· P geeft de samenstelling na één jaar • L2 · P geeft de samenstelling na twee jaar • Ln · P geeft de samenstelling na n jaar. • Bij een beginpopulatie P en een Lesliematrix L waarbij de overgangen worden gegeven per tijdseenheid, krijg je de samenstelling van de populatie na n tijdseenheden met de matrix Ln · P. • Met L-1 · P krijg je de populatie een jaar terug. 12.4

16. Bijzondere Lesliematrix • In de situatie van figuur 12.37 heeft alleen de oudste leeftijdsklasse nakomelingen. • In dat geval is • Uit L3 volgt dat in drie jaar tijd de aantallen van elke leeftijdsklasse met abc vermenigvuldigd worden. • Dus ook de omvang van de totale populatie wordt in drie jaar met abc vermenigvuldigd. 12.4