Sudovi po složenosti

1. Sudovi po složenosti jednostavni složeni

2. jednostavni Tigar je krvoločan. • Ovaj kategorički sud se ne može se raščlaniti na neke jednostavnije sudove, ali se može raščlaniti na pojmovetigar i krvoločan. • Takve sudove koji se ne mogu raščlaniti na sudove, nego samo na pojmove možemo nazvati jednostavnim (neki ih nazivaju atomskim).

3. Složeni (sastavljeni) sudovi (iskazi) • Složeni ili sastavljeni sud je sud koji se sastoji od (obično) više jednostavnijih (jednostavnih ili složenih) sudova. • Jednostavni se iskazi u složenim sudovima spajaju poveznicima. Primjeri: • Mateja ide u Zagreb, a Luka u Rijeku. • Ako budeš dobar, onda ćeš dobiti sladoled. • Ili idem na bazen, ili se ostajem sunčati u dvorištu. • Idemo na izlet samoako ne bude padala kiša. • Ako budem išao u Zagreb, Ivica će ići sa mnom ako i samo ako mu mačka ne bude bolesna ili bude petak. • Ivan nije ovdje. (Oprez: negacija spada u složene iskaze, iako je sastavljena od samo jednog iskaza!)

4. Složeni sudovi • implikacija (hipotetički sud)Ako kiša pada, ulice su vlažne. • disjunkcija (ekskluzivna, isključna - alternativni sud) Ili grmi il' se zemlja trese. • disjunkcija (inkluzivna, uključna) Petar je lijen ili glup. • konjunkcija (konjunktivni sud) Snijeg je bijel a trava je zelena. Snijeg pada i vjetar puše. • ekvivalencija (dvopogodba bikondicional) Ivica će ići sa mnom ako i samo ako mu mačka ne bude bolesna. • binegativni sud (binegacija) Niti grmi nit' se zemlja trese. Ovi složeni sudovi sadrže kao svoje dijelove jednostavne sudove: kiša pada, ulice su vlažne, grmi, zemlja se trese, lijen, glup, snijeg pada, vjetar puše… Takve sudove, koji kao svoje dijelove sadrže druge sudove, nazivamo složenim. Ovisno o broju jednostavnih sudova, oni su dvomjesni, tromjesni… navedeni primjeri su dvomjesni

5. Poveznici To su sljedeći simboli:  v → ↔ ↓ Nazivlju se i logički veznici, konektori, junktori itd.). Možemo ih čitati hrvatski:  kao ‘i’ za konjunkciju v kao ‘ili’ od vel (latinski) – ili za disjunkciju → kao ‘ako... onda’ za implikaciju ↔ kao ‘ako i samo ako’ za ekvipolenciju  kao ‘ne’ negacija ↓ ne… ne; niti… niti binegacija

6. Skraćeni način pisanja primjera sudova Ako kiša pada, ulice su vlažne. (Ako kiša pada onda su ulice vlažne.) jednostavni sud kiša pada označimo slovom p jednostavni sud ulice su vlažne označimo slovom q skraćeno pisano: p  q čitamo: ako p onda q

7. Vrste složenih sudova • implikacija (hipotetički sud)Ako kiša pada, ulice su vlažne. p  q • disjunkcija (ekskluzivna, isključna) Ili grmi il' se zemlja trese. p v q • disjunkcija (inkluzivna, uključna) Petar je lijen ili glup. • konjunkcija (konjunktivni sud) Snijeg je bijel a trava je zelena. p  q Snijeg pada i vjetar puše. • ekvivalencija (dvopogodba bikondicional) Ivica će ići sa mnom ako i samo ako p ↔ q mu mačka ne bude bolesna. Mama peče kolače ako i samo ako tata kuha ručak. • binegativni sud (binegacija) Niti grmi nit' se zemlja trese. p ↓ q Niti mama peče kolače, niti tata kuha ručak.

8. istinosna vrijednost • Sud spoj pojmova kojim se nešto tvrdi ili poriče.Svaka tvrdnja mora biti istinita ili neistinita. • Kad kažemo da je »Zagreb zapadno od Beograda«, to mora biti istinito ili neistinito, treće mogućnosti nema. • Budući da je sud poricanje ili tvrdnja, on mora biti istinit ili neistinit. U suvremenoj logici istinitost i neistinitost nazivaju se »istinosnim vrijednostima«. • Svaki sud dakle nužno posjeduje jednu (i to samo jednu) od dvije moguće istinosne vrijednosti (istinitost ili neistinitost). • U skladu s tim možemo reći da je sud misao koja posjeduje neku istinosnu vrijednost.Označavanje: I - N, i – n, T - N, t - n, T - _, T - F, t - f, 1 - 0

9. Tablice istinitosti složenih sudova (dvomjesnih)

10. Implikativni sud - implikacija (hipotetički sud - pogodba) implicatio – isprepletenost Ako kiša pada, ulice su vlažne. ako jednostavni sud kiša pada označimo slovom p ako jednostavni sud ulice su vlažne označimo slovom q možemo složeni sud Ako kiša pada, ulice su vlažne prikazati shemom: ako p onda q za povezivanje jednostavnih iskaza koristimo poveznik  koji se čita ako…onda Budući da svaki sud ima istinosnu vrijednost, tj. ili je istinit ili neistinit, onda istinosnu vrijednost imai složeni sud koji je od njih sastavljen. Ovisno o istinosnoj vrijednosti suda p i suda q, sud p  q može ima 4 istinosne vrijednosti. One se prikazuju u tablicama.

11. istinitosna tablica implikacije (pogodbe) U kakvu su odnosu istinosne vrijednosti pojedinih sudova p i q i istinosna vrijednost suda p  q prikazano je u tablici: prednjak posljedak antecedenskonsekvens Pogodba je neistinita samo ako je prednjak istinit a posljedak neistinit. Kod ovakvog tradicionalnog shvaćanja pogodbe postoji unutrašnji uzročno/posljedični odnos prednjaka i posljetka povezan i sa samim pojmovnim sadržajem tih iskaza. Kod iskazne logike (materijalne pogodbe) ta je veza nepotrebna jer se promatra samo uzajamna ovisnost istinitosnih vrijednosti iskaza bez unutrašnjeg pojmovnog sadržaja prednjaka i posljetka.

12. I – istina N - neistina Ako istinitost označimo slovom I, a neistinitost slovom N, prethodnu tablicu možemo kraće napisati u istinosnoj tablici: Moderni logičari nazivaju ovakve hipotetičke sudove zbog njihove isprepletenosti implikacijom.

13. 1 – istina 0 – neistina Danas se istinitost označava brojkom 1, a neistinitost brojkom 0, pa se onda istinosna tablica može napisati i ovako:

14. Disjunktivni sud – inkluzivna disjunkcija (uključna rastavnost) Petar je lijen ili glup. Sud Petar je lijen ili glup možemo napisati formulom p ili q odnosnop  q (v iz lat. vel – ili) Tim sudom ne tvrdimo da je Petar samo jedno ili drugo, nego tvrdimo da je Petar u najmanju ruku jedno od dvoga, a možda i oboje. To znači da je taj složeni sud istinit kad je bar jedan od dva jednostavna suda istinit, kao i onda kada su oba istinita. Možemo ga prikazati ovakvom istinosnom tablicom:

15. ispis tablice na binarni način Disjunktivni sud ima više predikata koji se međusobno isključuju.

16. Disjunktivni sud – ekskluzivna disjunkcija (isključujuća rastavnost - alternativni sud) Ili grmi il' se zemlja trese. ako jednostavni sud Grmi označimo slovom p ako jednostavni sud zemlja trese slovom q možemo taj sud prikazati formulom ili p ili q Da bi sud ili p ili q bio istinit, očito je da bar jedan od dva suda p i q mora biti istinit, ali da ne smiju biti oba. To znači daje taj složeni sud istinit kada je sud p istinit, a sud q neistinit, kao i onda kad je sud q istinit, a sud p neistinit. Naš je složeni sud neistinit, naprotiv, kad su oba jednostavna suda istinita ili kad su oba neistinita. Ovu formulu treba čitati: ili p ili q

17. Tablica istinitosti

18. Konjunkcija (konjunktivni sud) coniunctio - koji povezuje Snijeg pada i vjetar puše. ako snijeg pada označimo sa p ako vjetar puše označimo sa q dobivamo oblik p i q lijevi sudidesni sud U konjunkciji se opisuje neko stanje. Složeni sud p i q istinit je samo kad su istinita oba sastavna jednostavna suda, a neistinit je kad je neistinit jedan od ta dva suda, kao i onda kada su neistinita oba. Odnos između dva člana konjunktivnog prikazujemo ga znakom  Opća je forma konjunktivnog suda: p  q Ovu formulu treba čitati: p i q

19. tablica konjunkcije:

20. Negacija Nema nade. Negacija je jednomjesno odricanje nekoga suda. To znači da uza se ima samo jedno slobodno mjesto. Ako pojam u našem nade označimo s q onda će negacija biti ne q što se simbolički može označiti na više načina: sa crticom povrh q (čitaj: ne q) s posebnim znakom ispred q, tj. q (čitaj: ne q) Tablica istinosnih vrijednosti izgleda ovako:

21. Binegativni sud (binegacija) Niti grmi nit' se zemlja trese. Njegova je formula ni p ni q ili pisano sa simbolom p  q (čitaj: ni p ni q) Binegativni sud je istinit samo kad su i p i q neistiniti. Sud je neistinit ne samo onda kad i grmi i trese se zemlja nego i onda kad samo grmi ili se samo trese zemlja. Njegova bi istinosna tablica izgledala ovako:

22. u binarnom obliku • Prikazane sudove oblika ni p ni q nazivamo binegativnim, a odnos između dva sastavna suda složenog binegativnog suda binegacijom.

23. Ponavljanje:Iskazna logika u primjeni istinitosna funkcija znači da je istinitosna vrijednost složenog iskaza u potpunosti određena istinitosnom vrijednošću njihovih podiskaza (jednostavnih iskaza – sudova). Kod složenih iskaza rabimo posebne simbole, poveznike, ukupno pet:  v → ↔

24. Iskaz: Nije tako da je Antun hrabar. ili kraće Antun nije hrabar. Zanijekano: Antun je hrabar. Kad je Antun je hrabar istinito, Antun nije hrabar' je neistinito. Kad je Antun je hrabar' neistinito, Antun nije hrabar je istinito. Dakle, iskaz Antun nije hrabar uvijek ima oprječnu istinitosnu vrijednost od iskaza Antun je hrabar. Niječni se poveznik predmeće samo jednomu iskazu, tj. uza se ima samo jedno slobodno mjesto. Stoga kažemo da je  jednomjesni poveznik. Možemo ga čitati: nije slučaj da, nije tako da ili jednostavno ne. Negacija - nijek

25. Konjunkcija iskaz: Zagreb je glavni grad Hrvatske i Vilnius je glavni grad Litve. U tom iskazu su dvije sastavnice, koje su i same iskazi: Zagreb je glavni grad Hrvatske i Vilnius je glavni grad Litve. Ti su podiskazi povezani u jedinstven sastavljen iskaz pomoću i Ako je istinito da je Zagreb glavni grad Hrvatske, i da je Vilnius glavni grad Litve, istinit je i sastavljen iskaz Zagreb je glavni grad Hrvatske i Vilnius je glavni grad Litve. Ako nije istinit bilo koji od podiskaza sastavljenoga iskaza, nije istinit ni sastavljen iskaz. Jer sastavljen iskaz tvrdi da je Zagreb glavni grad Hrvatske, kao i to da je Vilnius glavni grad Litve. Dakle, i jedno i drugo mora biti istina, a ne samo jedno. Pogotovu ako nijedan od podiskaza nije istinit, neće biti istinit ni iskaz koji je od njih sastavljen.

26. Konjunkcija i hrvatske rečenice Konjunkcija ne mora u hrvatskome jeziku uvijek biti izražena pomoću i ili i... i... Npr. Ivan je još spavao, a nastava je u školi već počela. • Ta je rečenica istinita samo ako je istinito i to da je Ivan još spavao, kao i to da je nastava u školi već počela. • No osim te istinitosne povezanosti u toj je rečenici izraženo i još nešto što nam u iskaznoj logici nije važno. Izražena je, naime, i suprotnost, nesklad između toga da Ivan spava, dok je nastava u školi već počela. Zato je i upotrijebljen suprotni veznik a. Na taj se nesklad u iskaznoj logici ne obziremo, jer on ne utječe na dosljednost u zaključivanju, pa navedenu rečenicu logički shvaćamo kao običnu konjunkciju. Npr. Ivan je dugo spavao, ali je u školu stigao na vrijeme. • Na jeziku iskazne logike, zanemarujemo suprotnost koja je u njoj izražena, i shvaćamo ju samo kao konjunkciju. • I rečenice s veznicima npr. nego, međutim, iako, premda, dok možemo u iskaznoj logici također shvatiti kao konjunkcije.

27. Disjunkcijeaut – vel isključno ili…, ili – uključno ili Disjunkcija – isključna (ekskluzivna) Poveznik V jest dvomjesni poveznik; tj. uza se ima dva slobodna mjesta, na koja dolaze bilo koji iskazi jezika iskazne logike. Latinski veznik aut znači isključno ili (odvojeno zarezom, odnosno ili..., ili...). Aut cogitare, aut perire. (Ili misliti, ili propasti.) Ili grmi, il se zemlja trese. • U tradicionalnoj logici pod disjunkcijom mislimo u prvome redu na ovu isključnu disjunkciju. Ona je neistinita ne samo kad su oba disjunkta neistinita nego i kad su oba istinita.

28. Disjunkcija – uključna (inkluzivna) iskaz: Ivana ili Stjepan putuju u Dubrovnik. • Iskaz će biti jasniji ako njegove sastavnice izričitije odvojimo: Ivana putuje u Dubrovnik ili Stjepan putuje u Dubrovnik. • Sastavnice, podiskazi, povezani su u jedinstven iskaz pomoću veznika ili v • Očito je da u slučaju da ni Ivana ni Stjepan ne putuju u Dubrovnik, sastavljen iskaz nije istinit. • Putuje li samo Ivana u Dubrovnik, ili pak samo Stjepan putuje u Dubrovnik, sastavljeni je iskaz istinit. • Nije izričito rečeno da u slučaju da Ivana putuje u Dubrovnik, Stjepan ne putuje. Ni obratno, da u slučaju da Stjepan putuje u Dubrovnik, Ivana ne putuje. Stoga naš sastavljeni iskaz možemo smatrati istinitim i u slučaju da obojica, i Ivana i Stjepan, putuju u Dubrovnik. • Jedini slučaj, prema tome, u kojem je naš sastavljeni iskaz neistinit, jest onaj u kojem nijedan njegov neposredni podiskaz nije istinit. Dakle • U disjunkciji iskaz je istinit ako i samo ako je barem jedan njegov neposredni podiskaz istinit. • U modernoj logici uključna disjunkcija ima prednost pred isključnom disjunkcijom. Uključna se disjunkciju gdjekad naziva i adjunkcijom ili alternacijom.

29. Uključna disjunkcija i hrvatske rečenice • U hrvatskome jeziku uključna disjunkcija ne mora uvijek biti izražena veznikom ili. npr. Barem jedna od dviju knjiga koje sam posudio, bit će mi zanimljiva. • Ta rečenica također znači uključnu disjunkciju i možemo ju izreći i ovako: Prva ili druga posuđena knjiga bit će mi zanimljiva. • Isto ju tako hrvatski možemo izreći i na sljedeći način: Bilo jednabilo druga knjiga koju sam posudio, bit će mi zanimljiva.

30. Pogodba p  q u iskaznoj logici Npr. pogodbena rečenica: Ako je Jankova truba načinjena od mjedi, u njoj ima bakra. • Prvi podiskaz zovemo prednjakom (antecedens), a drugi posljetkom (konsekvens). S obzirom na istinitosne vrijednosti, naša pogodbena rečenica kazuje samo to da, ako je istinit prednjak, istinit je i posljedak. Prema tome, • iskaz ne bi bio istinit u slučaju kad bi Jankova truba bila načinjena od mjedi, a u njoj ne bi bilo bakra. • Dakle, neistinit je ako je prednjak istinit, a posljedak neistinit. Što je, međutim, u ostalim slučajevima? • U svim ostalim slučajevima pogodbu u iskaznoj logici smatramo istinitom. Dakle: • Ponajprije, u slučaju da su i prednjak i posljedak istiniti. Dakle, ako je Jankova truba načinjena od mjedi, a u njoj također ima bakra. • Zatim, u slučaju da je prednjak neistinit, a posljedak istinit. Naime, u Jankovoj trubi može biti bakra, a da nije načinjena od mjedi (npr. kad bi bila od bronce*). • Napokon, pogodba je istinita i u slučaju da ni prednjak, ni posljedak nisu istiniti. Dakle, u našemu primjeru, kad Jankova truba ne bi bila od mjedi, niti bi u njoj bilo bakra (npr. kad bi bila od srebra). *Bronca je naziv za veliki broj slitina bakra, najčešće s kositrom, ali s drugim elementima. Izuzetak je slitina s cinkom koja se obično naziva mjed.

31. pogodba i hrvatske rečenice Rečenice: Ako kiša pada, voda se sastoji od vodika i kisika Ako se voda sastoji od željeza i ugljika, Palermo je glavni grad Italije. • u tradicionalnoj logici a i u običnom jeziku ne bi se ni postavilo pitanje istinitosti, već bismo rekli da su bespredmetne - iako ona u iskaznoj logici ima sasvim određenu istinitosnu vrijednost (uvijek je istinita – jer je uvijek istinito da se voda sastoji od vodika i kisika a u drugom primjeru iskazi su uvijek neistiniti. Tako se ne može dogoditi na samo posljedak bude neistinit a što je uvjet da pogodba bude neistinita). • No, ovakve iskaze katkada rabimo u svakodnevnom jeziku kada želimo istaknuti u kojoj je mjeri nešto nemoguće i nezamislivo, npr. Ako se voda sastoji od željeza i ugljika, onda sam ja predsjednik Indonezije. Pogodbu je moguće u hrvatskom jeziku izreći i drukčije, a ne samo pomoću izraza ako..., onda..., ili samo pomoću ako..., ... Možemo, naime, najprije izreći posljedak, a zatim prednjak, služeći se izrazom samo ako. Ako je Jankova truba načinjena od mjedi, u njoj ima bakra. U njoj ima bakra, ako je Jankova truba načinjena od mjedi. Jankova je truba načinjena od mjedi samo ako u njoj ima bakra. • Pogodbu iskazne logike (materijalnu) valja razlikovati od uzročne i nestvarne pogodbe u običnom jeziku. Uzročna je pogodba, primjerice, iskaz Ako ovu čašu vode ohladimo ispod 0°C, voda će se zalediti. Uzročna se pogodba može javiti u obliku nestvarne pogodbe. Nestvarna je pogodba, primjerice, iskaz Da sam jučer obukao vestu, bilo bi mi toplo. • Te se pogodbe razlikuju od materijalne pogodbe npr. po tome što nisu istinite u svakom slučaju kad im je prednjak neistinit.

32. Dvopogodbap↔q Iskaz: U snijegu su ostali tragovi ako i samo ako je Marko tuda prošao. • Izraz ako i samo ako se u običnom jeziku rabi rijetko - tu je češće upravo ako. • Iskaz Marko je prošao snijegom jest prednjak (dostatan uvjet) pogodbe, jer ispred njega dolazi izraz 'ako'. • Iskaz U snijegu su ostali tragovi je posljedak. • No iskaz Marko je prošao snijegom ujedno je i posljedak pogodbe, jer ispred njega dolazi i izraz samo ako. Ali u tom je slučaju onaj drugi iskaz njegov prednjak. • Dakle, prvi je iskaz prednjak, a drugi posljedak, ali je također i drugi iskaz prednjak, a prvi posljedak. • Riječ je dakle o dvojnoj pogodbi, u kojoj su oba podiskaza ujedno i prednjak i posljedak. Odnosno, svaki je podiskaz dvopogodbe kako dostatan, tako i nužan razlog drugoga podiskaza. • Naš iskaz 'U snijegu su ostali tragovi ako i samo ako je Marko tuda prošao' sadržava, dakle, dvije pogodbe: 1. Ako je Marko prošao snijegom, u snijegu su ostali tragovi 2. Ako su u snijegu ostali tragovi, Marko je tuda prošao

33. analiza istinitosne vrijednosti dvopogodbe • Naš iskaz U snijegu su ostali tragovi ako i samo ako je Marko tuda prošao sadržava, dakle, dvije pogodbe: 1. Ako je Marko prošao snijegom, u snijegu su ostali tragovi 2. Ako su u snijegu ostali tragovi, Marko je tuda prošao Uzmimo najprije slučaj da je istina i to da su u snijegu ostali tragovi, kao i to da je Marko prošao snijegom. Očito je da je u tom slučaju i cijeli iskaz istinit. • Što ako bi se dogodilo da u snijegu nisu ostali tragovi, a da je ipak Marko prošao snijegom? U tom slučaju naš iskaz ne bi bio istinit, jer ne bi vrijedila pogodba pod 1). • Naš iskaz ne bi bio istinit ni u slučaju da su u snijegu ostali tragovi, a da Marko nije prošao snijegom. Tada ne bi vrijedila pogodba pod 2). • Napokon, u slučaju da niti su u snijegu ostali tragovi, niti je Marko prošao snijegom, vrijedi i pogodba pod 1) i pogodba pod 2). Cijeli je iskaz, dakle, istinit. Stoga možemo reći: • iskaz koji je istinit samo u slučaju kada su njegovi neposredni podiskazi bilo oba istiniti, bilo oba neistiniti, jest dvopogodba ili bikondicional.

34. Vježbe za zadaću • Potražiti na školskoj Web stranici!