PITAGORINA TEOREMA

1. MilicaSekulović i Jovan Todorovski, 7/5 OŠ “Nikola Tesla” Rakovica Dr Milivoja Petrovića 6 PITAGORINA TEOREMA

2. PITAGORA Pitagorina ličnost obavijena je gustom maglom mitova i legendi, čak i više nego što je slučaj kod ostalih presokratskih filozofa, pa se o njegovom životu i učenju malo toga može sa sigurnošću reći. Pitagora, sin Mnesarha, rodio se oko 582.g. st. e. na ostrvu Samosu. Moguće je da je po naređenju samoskog tiranina Polikrata putovao u Egipat kako bi se bolje upoznao s ustanovamatamošnjih sveštenika. Iz razloga koji nam nisu dovoljno jasni Pitagora se sa Samosa preselio u grad Kroton u južnoj Italiji, gde sunastala nova središta grčke kulture i političke moći nakon pada Jonije pod persijsku vlast.

3. PITAGOREJSKA TEORIJA BROJEVA Pod pitagorejskom teorijom brojeva podrazumeva se zapravo jedna teorija bića, teorija koja se odnosi na "prirodu stvari", pa ona ujedno obuhvata i matematiku i muziku i astronomiju. Aristotel kaže da su se "oni koje nazivaju pitagorejcima prvi posvetili matematici i unapredili je, a pošto su bili odgojeni u njoj, smatrali su da su njena načela ujedno i načela svih stvari". Pitagorejci su prvo, kako se čini, uočili da visina tona na liri zavisi od broja, naime, onoliko koliko zavisi od dužine žica instrumenata, pa je stoga moguće da se intervali na lestvici iskažu razlomcima broja. Tako su odredili odnose među tonovima (intervale), koje su podelili na konsonantne i disonantne: prvi – u koje su računali kvartu, kvintu i oktavu – proglašeni su skladnima jer zajedno rađaju suglasje (συμφωνία), dok su sve ostale intervale smatrali nesaglasnim (disonantnim).

4. Nušićev stih: ,,Kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dete, jednak je zbiru kvadrata nad obe katete’’.

5. PITAGORINATEOREMA:zbirpovršinakvadratakonstruisanihnadkatetamajednak je površinikvadratakonstruisanognadhipotenuzom 32 +42 =52

6. PITAGORINA TEOREMA PRIMENE

7. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT • Kvadrat je četvorougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama. Kada se povukudijagonale,dobiju se četiripravouglatrouglakodkojih je stranicaahipotenuza.

8. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGANIK • Pravougaonik je paralelogram sajednakimdijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima.Kada se povuče jednadijagonala, dobiju se dvapravouglatrougla. Pitagorinateoremazatrougao ABC: d2 =a2 + b2 ili • Obim: O=2a+2b • Površina: P=a∙b

9. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGLI TROUGAO Pravouglitrougao je trougaosauglomod 90 stepeni.Stranica nasuprot pravog ugla je hipotenuza, a druge dve stranice su katete. Površina Obim: O=a+b+c Težišna duž

10. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANIČNI TROUGAO • Jednakostraničnitrougao je trougaosajednakimstranicamaiuglovima.Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla: O=3a R= 2 h 3 r= 1 h 3 Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

11. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO • Jednakokrakitrougao je trougaosajednakimkracima.Kada se povuče visinaiztemenaC,dobiju se dvapravouglatrougla. • Pitagorina teorema za trougao ACD: a odavde se dobija visina ha : O=a+2b

12. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB • Romb je paralelogramsasvimjednakimstranicama.Dijagonale se seku pod uglomod 90 stepeni i međusobno se polove. • Obim: O=4a • Površina: P=a∙h ili Primenom Pitagorine teoreme na trougao AOB: gde su AO i BO katete a AB hipotenuza dobija se:

13. PRIMENA PITAGORINE TEOREME NA TRAPEZ • Trapez je četvorougaosajednimparomparalelnihstranicakoje se zovuosnoveisajednimparom neparalelnihstranicakoji se zovukraci. • Obim jednakokrakog trapeza:O=a+b+2c • Srednja linija trapeza: • Površina trapeza: P=m∙h Primenom Pitagorine teoreme na trougao AMD dobija se: c2=h2+x2

14. PITAGORINO DRVO Pitagorino drvo je ravanski fraktal konstruisan pomoću kvadrata. Dobio je ime po Pitagori zato što svaka trojka susednih kvadrata svojim zajedničkim temenima određuje pravougli trougao, u obliku koji se tradicionalno koristi za prikaz Pitagorine teoreme. Ako je stranica prvog kvadrata dužine 1, celo Pitagorino drvo može stati u pravougaonik veličine 6×4. Sitniji detalji drveta podsećaju na LevijevuC krivu. Fraktal je prvi konstruisao holandski matematičar Albert Bosman 1942. godine.

15. PITAGORINO DRVO

16. KAKO SE DRVO CRTA? KonstrukcijaPitagorinogdrvetapočinjekvadratom. Nadnjim se konstruišudvamanjakvadrata, sakoeficijentomsličnosti , takodasvakikvadratimapojednozajedničkotemesapreostaladva. Isto se ponavlja rekurzivno naddvamanjakvadrata, ad infinitum. Sledećeilustracijeprikazujuprvihnekoliko iteracija u postupkukonstrukcije.

17. NIVO 0 NIVO 1 NIVO 2 NIVO 3

18. Ako se umesto dva ista kvadrata, u novom koraku oni konstruišu tako da je jedan veći od drugog (odnosno da pravougli trougao određen temenima tri susedna kvadrata ne bude jednakokraki), rezultat će biti "Pitagorino drvo na vetru".

19. NIVO 0

20. NIVO 1

21. NIVO 2

22. NIVO 3

23. Smešne stranePitagorineteoreme DRAGI MOJ NA KVADRAT!!! Volimtekaojednačinusa tri nepoznate. Ti siPitagorinopravilo, teoremamogživotaikada bi mi daodeosvogživota,osećala bih se kaodijagonalanakvadrat. Ceodanvršimrotacionokretanjeokotebe,a tinida mi pokažešnajmanjisadržalacsvojeljubavi.Zagradiosi se kaopotkorenajednačina, te ma kolikopokušavamizvućitvojesrcepredzagradu,ne mogu.Tisi se odmeneudaljiokaoperiferijaodcentrakruga. Kada bi mi dopustiodapođemsatobom,uspeo bi me svestinanulu.Akotvojodgovorbude NE,naša ljubav se potire. Nadam se da me nećešdovesti do toga da se zbogljubavirastavimnaprostečinioce. Tvojaisamotvojadijagonala

24. ZADACI 1)Izračunaj dužinuhipotenuzepravouglogtrouglačijesukatete a=7cm,b=24cm. 2)Izračunaj dužinutreće stranicepravouglogtrouglačija je hipotenuza c=17cm a kateta a=14cm. 3) Izračunajdijagonalukvadratačija je stranica a=4cm.

25. OŠ ”Nikola Tesla” Beograd AUTORI • Jovan Todorovski, 7/5 • MillicaSekulović, 7/5 2011/12.