Kombinatorika

1. Kombinatorika Zabývá se různými způsoby výběru prvkůz daného souboru.

2. Kombinatorika Základní kombinatorická pravidla Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součtu

3. Kombinatorika Kombinatorické pravidlo součinu Kolik různých uspořádaných dvojic čísel můžeme dostat, když hodíme dvakrát kostkou s jedním až šesti oky na jednotlivých stěnách?

4. Kombinatorika Kombinatorické pravidlo součinu Kolik různých uspořádaných dvojic čísel můžeme dostat, když hodíme dvakrát kostkou s jedním až šesti oky na jednotlivých stěnách? Řešení V prvním hodu může padnout jedno ze šesti čísel, tj. n1 = 6, ke každému z nich může ve druhém hodu opět padnout jedno ze šesti čísel, tj. n2 = 6. Počet různých dvojic (k = 2) je tedy 6 · 6 = 36.

5. Kombinatorika Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n2 způsoby atd. až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby, je roven n1 · n2 · … · nk.

6. Kombinatorika Kombinatorické pravidlo součtu V letadle na mezinárodní lince je 9 chlapců, 5 amerických dětí, 9 mužů, 7 dětí jiné státní příslušnosti, 14 Američanů, z nichž je 6 mužů, a 7 žen jiné státní příslušnosti. Kolik cestujících je v letadle?

7. Kombinatorika Kombinatorické pravidlo součtu V letadle na mezinárodní lince je 9 chlapců, 5 amerických dětí, 9 mužů, 7 dětí jiné státní příslušnosti, 14 Američanů, z nichž je 6 mužů, a 7 žen jiné státní příslušnosti. Kolik cestujících je v letadle? Řešení Nejprve určíme počet dětí: v letadle je 5 amerických dětí a 7 dětí jiné státní příslušnosti, to znamená dohromady 12 dětí. Dále je v letadle 7 žen jiné státní příslušnosti než americké a 9 mužů. K určení celkového počtu dospělých tedy zbývá zjistit, kolik amerických žen je v letadle. Ze zadání víme, že je v letadle 14 Američanů, z toho 6 mužů a 5 dětí. Počet amerických žen je proto 14 − 6 − 5 = 3. Dostáváme tak počet dospělých: 9 + 7 + 3 = 19. V letadle je tedy 12 dětí a 19 dospělých, což je dohromady 31 cestujících. Informace o tom, že v letadle je 9 chlapců, není k výpočtu potřeba.

8. Kombinatorika Kombinatorické pravidlo součtu Jsou-li A1, A2, …, An konečné množiny, které mají po řadě p1, p2, …, pn prvků,a jsou-li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny A1U A2U … U An je roven p1 + p2 + … + pn.

9. Variace, permutace, kombinace

10. http://www.am.vsb.cz/litschmannova/ STATISTIKA I. pro denní studium Řešené příklady Kombinatorika, Klasická pravděpodobnost

11. Příklady

12. 1.1 Na startu běžeckého závodu je 8 atletů. Kolikazpůsoby mohou být obsazeny stupně vítězů? V3(8) = 8.7.6 = 336 možností

13. 1. 2  Kolik různých značek teoreticky existuje v Morseově abecedě, sestavují-li se tečky a čárky do skupin po jedné až šesti? z= V1*(2) + V2*(2) + V3*(2) + V4*(2) + V5*(2) + V6*(2) = = 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32+64 = 126

14. 1.3 Jsou dány cifry 1, 2, 3, 4, 5. Cifry lze opakovat. Kolik je možno vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou: a) pětimístná „a zároveň“

15. 1.3 Jsou dány cifry 1, 2, 3, 4, 5. Cifry lze opakovat. Kolik je možno vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou: b) pětimístná sudá nebo 2 4 + 1250

16. 1.3 Jsou dány cifry 1, 2, 3, 4, 5. Cifry lze opakovat. Kolik je možno vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou: c) pětimístná, končící dvojčíslím 21 d) pětimístná, menší než 30000 e) trojmístná lichá f) čtyřmístná, větší než 2000 g) dvojmístná nebo trojmístná

17. 1.4 Mějme n různých korálků, které budeme navlékat na niť. Její konce pak svážeme, takže vytvoříme kruh (náhrdelník). Kolika způsoby lze korálky do kruhu uspořádat? Tzn. uspořádání, které se liší pouze otočením kruhu nepovažujeme za různé.

18. Kolik je možností jak navléknout na niť n korálků? • Konce svážeme – vytvoříme náhrdelník: • Kolik různých uspořádání korálků vytvoří stejný náhrdelník? • např.:

19. 1.4 Mějme n různých korálků, které budeme navlékat na niť. Její konce pak svážeme, takže vytvoříme kruh (náhrdelník). Kolika způsoby lze korálky do kruhu uspořádat? Tzn. uspořádání, které se liší pouze otočením kruhu nepovažujeme za různé.

20. 1.5    Kolik různých šesticiferných čísel lze vytvořit z číslic 1, 2, 2, 3, 3, 3? Jde o permutace (přesmyčky)  6! ALE!!! 122333 a122333 jsou započteny v permutacích 2x, …

21. 1.6    Zjistěte, kolik existuje různých kvádrů, pro něž platí, že délka každé jejich hrany je přirozené číslo z intervalu <2;15>.

22. 1.7    Kolik různých státních poznávacích značek OSB XX-XX existuje s aspoň dvěmi trojkami? 4 trojky: x4 = 1 3 trojky:x3= 4.V1(9) = 4.9 = 36 2 trojky:x2 = C2(4).V2*(9) = 6.81 = 486 x = x4 + x3 + x2 = 1 + 36 + 486 = 523

23. 1.8    Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. TAM: Trasa A → B: 4 možnosti A B C

24. 1.8    Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. TAM: Trasa A → B: 4 možnosti a zároveň Trasa B → C: 3 možnosti A B C

25. 1.8    Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. TAM: Trasa A → B: 4 možnosti a zároveň Trasa A → C: 12 možnosti Trasa B → C: 3 možnosti A B C

26. 1.8    Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. ZPĚT: Trasa C → B: 2 možnosti a zároveň Trasa B → A: 1 možnost Celkem: 2 možnosti A B C

27. 1.8    Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. ZPĚT: Trasa C → B: 2 možnosti Trasa C → B: 1 možnost a zároveň a zároveň Trasa B → A: 1 možnost Trasa B → A: 3 možnosti Celkem: 2 možnosti Celkem: 3 možnosti A B C nebo + = 5 možností

28. 1.8    Z místa A do místa B vedou 4 turistické cesty, z místa B do C tři. Určete kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát. Trasu z A do C lze tedy vybrat 12 způsoby. Celkový počet tras z C do A, které splňují dané podmínky, je roven 5-ti. Počet všech způsobů, kterými lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z daných cest je právě jedna použita dvakrát, je 12 · 5 = 60.

29. Podobné úlohy • Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu • z A do C a zpět; • b) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát; • c) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát.

30. Klasická definice pravděpodobnosti

31. Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti • Množinu všech možných výsledků pokusu značíme Ω. Podmnožiny množiny Ω se nazývají (náhodné) jevy. • Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady: • Možných výsledků je konečný počet. • Všechny výsledky jsou stejně možné. • Všechny výsledky se vzájemně vylučují. • kde n je počet všech výsledků náhodného pokusu a m je počet výsledků příznivých jevu A; n = | Ω | , m = | A | .

32. Příklady

33. 1.11  Sjakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet: a) šest b) menší než 7

34. 1.11  Sjakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet: a) šest b) menší než 7

35. 1.11  Sjakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet: a) šest b) menší než 7

36. 1.12   Máme 230 výrobků mezi nimiž je 20 nekvalitních. Vybereme 15 výrobků, přičemž vybrané výrobky nevracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 15-ti vybranými bude 10 dobrých?

37. 1.12   Máme 230 výrobků mezi nimiž je 20 nekvalitních. Vybereme 15 výrobků, přičemž vybrané výrobky nevracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 15-ti vybranými bude 10 dobrých?

38. 1.13    Na jedné poličce je náhodně rozestaveno deset knih. Určete pravděpodobnost toho, že určité tři knihy jsou postaveny vedle sebe.

39. 1.13    Na jedné poličce je náhodně rozestaveno deset knih. Určete pravděpodobnost toho, že určité tři knihy jsou postaveny vedle sebe.

40. 1.14    Mějme pět vstupenek po 100 Kč, tři vstupenky po 300 Kč a dvě vstupenky po 500 Kč. Vyberme náhodně tři vstupenky. Určete pravděpodobnost toho, že:a)alespoň dvě z těchto vstupenek mají stejnou hodnotub) všechny tři vstupenky stojí dohromady 700 Kč

41. 1.14    Mějme pět vstupenek po 100 Kč, tři vstupenky po 300 Kč a dvě vstupenky po 500 Kč. Vyberme náhodně tři vstupenky. Určete pravděpodobnost toho, že:a)alespoň dvě z těchto vstupenek mají stejnou hodnotub) všechny tři vstupenky stojí dohromady 700 Kč

42. 1.14    Mějme pět vstupenek po 100 Kč, tři vstupenky po 300 Kč a dvě vstupenky po 500 Kč. Vyberme náhodně tři vstupenky. Určete pravděpodobnost toho, že:a)alespoň dvě z těchto vstupenek mají stejnou hodnotub) všechny tři vstupenky stojí dohromady 700 Kč