Kombinatorika

1. Kombinatorika Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III.A

2. Obsah • Dôkaz matematickou indukciou • N – faktoriál • Kombinačné čísla • Pascalov trojuholník • Binomická veta • K-ty člen binomického rozvoja • Definičné obory • Úvod do kombinatoriky • Kombinačné úlohy • Variácie • Permutácie • Kombinácie • Variácie s opakovaním • Permutácie s opakovaním • Kombinácie s opakovaním • Pravidlo súčtu • Pravidlo súčinu

3. I. Dôkaz mat. indukciou • Využívame pre mat. vety, kt. treba dokázať alebo pre prir. čísla od nejakého • Dôkaz mat. indukciou pozostáva z 2 krokov: • Vetu dokážeme pre prvé prirodzené číslo • Indukčný krok Z predpokladu, že veta platí pre n=k dokážeme platnosť vety

4. Príklad

5. II. N-faktoriál • Využíva sa pri výpočtoch v kombinatorických úlohách • Definujeme ho ako • Vyjadrenie niektorých n!

6. Príklad

7. III. Kombinačné čísla • Kombinačné číslo • Majú niekoľko základných vlastností: • Pre každé platí: • Pre každé platí: • Pre každé platí: • Určitá vlastnosť umožňuje vypočítať kombinačné čísla len za pomoci sčítavania, bez vyčísľovania faktoriálov. • Často sa vyskytujú v kombinatorike.

8. Príklad

9. IV. Pascalov trojuholník • Je zostavený z kombinačných čísel. • V tejto schéme sa všetky krajné čísla rovnajú 1 a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel bezprostredne nad ním, využívame 3 základnú vlastnosť a to: • Pascalov trojuholník má zvislú os súmernosti. • Číslo na k-tom mieste v n-tom riadku má hodnotu

10. V. Binomická veta • Kombinačné čísla majú ešte množstvo zaujímavých vlastností. • Jedna z nich vyplýva z binomickej vety:

11. Príklad

12. VI. K-ty člen bin. rozvoja • Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja pre odpovedajúce n. • Binomický rozvoj má sčítancov. • Pre k-ty člen binomického rozvoja platí:

13. Príklad

14. VII. Definičné obory • Pre n-faktoriál • Vyjadruje sa z najmenšieho n-faktoriálu • n≥0 • Pre kombinačné čísla • V kombinačnom čísle musí byť n väčšie rovné k • n ≥k

15. VIII. Úvod do kombinatoriky Kombinatorika: • Je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá riešením úloh typu: • „Koľkými spôsobmi možno vybrať isté objekty? ” • „ Koľkými spôsobmi možno usporiadať isté objekty? ” • „ Koľkými spôsobmi zoradiť isté objekty? ” • Ponúka niekoľko pravidiel na riešenie jednoduchých úloh: • Pravidlo súčtu. • Pravidlo súčinu. • Ak sa vyskytnú zložitejšie, je treba si ich rozdeliť na jednoduché podúlohy.

16. IX. Kombinačné úlohy • Delíme na 6 základných typov: • Permutácie • Kombinácie • Variácie • Permutácie s opakovaním • Kombinácie s opakovaním • Variácie s opakovaním

17. X. Variácie • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: • „Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania?“ • „Koľko usporiadaných k-tic možno vytvoriť z n prvkov?“ • Každú usporiadanú k-ticu z daných n prvkov nazývame k-prvkovou variáciou z n prvkov. • Počet všetkých takýchto variácií označujeme V(k,n) • Platí:

18. Príklad

19. XI. Permutácie • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: • „Koľkými spôsobmi možno zoradiť do radu prvky neprázdnej konečnej n-prvkovej množiny? ” • Každé jedno zoradenie nazývame permutáciou (poradím) prvkov danej množiny. • Permutácie možno reprezentovať usporiadanými n-ticami prvkov danej n-prvkovej množiny. • Počet všetkých permutácií n prvkov označujeme P(n). • Pre ich počet platí:

20. Príklad

21. XII. Kombinácie • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: • „ Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať objektov, ak nezáleží na poradí vyberania? ” • „ Koľko k-prvkových množín má n-prvková množina? ” • Každý jeden výber k prvkov z daných n-prvkov nazývame k-prvkovou kombináciou z n-prvkov. • Keďže nezáleží na poradí vyberania, možno kombinácie chápať ako neusporiadané k-tice, t.j. k-prvkové podmnožiny. • Počet k-prvkových kombinácií z n prvkov označujeme • Pre ich počet platí:

22. Príklad

23. XIII. Variácie s opakovanám • Základný typ kombinačnej úloh, ktorá rieši úlohy typu: • “Koľkými spôsobmi možno z daných n objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát?“ • Každý taký výber nazývame k-prvkovou variáciou s opakovaním z n prvkov a ich celkový počet označujeme V’(k, n). • Platí:

24. Príklad

25. XIV. Permutácie s opakovaním • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: • Majme n1 objektov prvého druhu, n2 objektov druhého druhu, ... atď. ak nk objektov k-teho druhu tak koľkými spôsobmi možno týchto n1 + n2 + ... + nk objektov usporiadať do radu?“ • Každé také usporiadanie nazývame permutáciou s opakovaním, ich celkový počet označujeme • Počítame ho zo vzorca:

26. Príklad

27. XV. Kombinácie s opakovaním • Základný typ kombinačnej úlohy ktorá rieši úlohy typu: • Koľkými spôsobmi môžeme z daných n objektov vybrať k objektov, ak nezáleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát?“ • Každý z možných výberov nazývame k-prvkovou kombináciou s opakovaním z n prvkov. • Ich celkový počet označujeme K’(k, n) • Počítame podľa vzorca:

28. Príklad

29. XVI. Pravidlo súčtu • Ak je úlohou zistiť počet prvkov nejakej množiny M, môžeme množinu M rozložiť na niekoľko disjunktných podmnožín M = M1 M2 …  Mk a určiť počty prvkov množín Mi. • Potom platí:|M| = |M1| + |M2| + ... + |Mk|

30. XVII. Pravidlo súčinu • Predpokladáme, že máme vybrať dva prvky a, b, pričom prvý vyberáme z konečnej neprázdnej množiny A a druhý z konečnej neprázdnej množiny B. • V prípade, že výber prvku b nezávisí od výberu prvku a, je spolu |A|.|B| možností, ako vybrať tieto dva prvky.