1 / 40

FUNKCJA

FUNKCJA. JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE. CO TO JEST FUNKCJA ?. WŁASNOŚCI FUNKCJI. FUNKCJA. PRZYKŁADY FUNKCJI NIELINIOWYCH. FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚCI. Co to jest funkcja. ?. Definicja :. Dane są dwa zbiory A i B.

elie
Download Presentation

FUNKCJA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FUNKCJA JEJ WŁASNOŚCI ORAZ RODZAJE

  2. CO TO JEST FUNKCJA? WŁASNOŚCI FUNKCJI FUNKCJA PRZYKŁADY FUNKCJI NIELINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚCI

  3. Co to jest funkcja ?

  4. Definicja: Dane są dwa zbiory A i B Jeżeli każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją ze zbioru A do zbioru B. A B e 1 a 4 b 5 c 3 d 2 B - przeciwdziedzina funkcji elementy zbioru B - wartości A - dziedzina funkcji elementy zbioru A- argumenty

  5. WRZ 2435 KRB 18003 CEK 2112 CZS 4503 Przykład funkcji I Każdy samochód, ma dokładnie jeden numer rejestracyjny. A dziedzina B przeciwdziedzina

  6. A B Jola K. 12 19 ZbyszekW. Kasia B. 5 21 Jacek Z. TomekD. 7 A - DZIEDZINA B - PRZECIWDZIEDZINA Przykład funkcji II Każdy uczeń ma dokładnie jeden numer w dzienniku Każdy ma jeden numer

  7. Różne sposoby opisywania funkcji SŁOWNIE TABELĄ WZOREM WYKRESEM GRAFEM Uwaga: Z każdego opisu musi jednoznacznie wynikać sposób przyporządkowania, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji.

  8. O P I S S Ł O W N Y Dziedzina Przeciwdziedzina Dziedzina Przeciwdziedzina Dziedzina Przeciwdziedzina Przykład I - Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. zbiór uczniów danej klasy. zbiór liter Przykład II - Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. zbiór Y = {0,1,2,3,4,5,6} zbiór X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} Przykład III - Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. zbiór liczb naturalnych. zbiór liczb całkowitych

  9. Jola Kasia Tomek Waldek Bogdan Basia Wiesiek Marta Mariusz Paweł Kamil J K T W B B W M. M. P K Wiesiek M Basia Kasia K Tomek Jola J W Mariusz Marta P Bogdan B Paweł Waldek T Kamil Każdemu uczniowi w klasie przyporządkowujemy pierwszą literę imienia. Przykład I TABELA GRAF WYKRES WZÓR Uwaga! Tej funkcji nie da się opisać wzorem ani wykresem ponieważ nie jest to funkcja liczbowa

  10. Przykład II -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 f:x x+3 x Każdej liczbie ze zbioru X = {-3,-2,-1,0,1,2,3} przyporządkowujemy liczbę o 3 większą. TABELĄ WYKRESEM WZOREM lub f(x) = x+3 lub y = x+3 dla x € {-3,-2,-1,0,1,2,3}

  11. Przykład III x 0 1 2 3 4 5 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. Uwaga! Ponieważ dziedziną tej funkcji jest nieskończony zbiór liczb naturalnych, nie można sporządzić tabeli ani grafu. Możemy się ograniczyć do tabeli częściowej (tzn. dla kilku wybranych elementów). TABELA WYKRES WZÓR f:x- x f(x) = - x y = - x dla x € N

  12. WYKRES -jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga wartością funkcji dla tego argumentu. (x, f(x)) 1 x 2 - 2 - 4 y 2 4 jeżeli x = 1, to y = 2 y y=2x (2,4) jeżeli x = 2, to y = 4 (1,2) jeżeli x = -2, to y = - 4 x f(x) = y= 2x wartość jest dwa razy większa od argumentu (-2,-4) *

  13. Przykłady wykresów funkcji y = 2x+1 dla różnych dziedzin Dziedzina funkcji x € {1, 2, 3} f(x) = y = 2x+1 x-argument y-wartość Dziedzina funkcji x € R Dziedzina Funkcji x € C

  14. WŁASNOŚCI FUNKCJI

  15. w a r t o ś c i Wraz ze wzrostem argumentów, rosną wartości funkcji. a r g u m e n t y

  16. FUNKCJA jest ROSNĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości. y Y5 Y4 x rosną X2 X4 X5 X1 X3 Y3 rosną Y2 Jeżeli X1 < X2, to Y1 < Y2. Y1 Funkcja liniowa jest rosnąca dla a > 0. *

  17. w a r t o ś c i a r g u m e n t y Wraz ze wzrostem argumentów, maleją wartości funkcji.

  18. FUNKCJA jest MALEJĄCA jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości. Y y1 maleją Jeżeli x1 < x2, to y1 > y2. y2 x 0 rosną x1 x2 * Funkcja liniowa jest malejąca dla a < 0.

  19. Różne argumenty, równe wartości funkcji. w a r t o ś c i a r g u m e n t y

  20. y y y y y FUNKCJA jest STAŁA jeżeli wszystkim argumentom odpowiada ta sama wartość. Y te same wartość Jeżeli x1< x2, to y = y ( jest stały ) x 0 x1 x2 x3 x4 różne argumenty * Funkcja liniowa jest stała dla a =0.

  21. Uwaga ! Nie wszystkie funkcje są monotoniczne (tzn. rosnące, malejące lub stałe) w całej dziedzinie. Ta funkcja jest przedziałami monotoniczna. Dla x (- 6 ; - 4) - rosnąca Dla x (- 4 ; -1) - stała Dla x (-1 ; 0) - malejąca Dla x ( 0 ; 4 ) - rosnąca Dla x (4 ;6 ) - stała

  22. Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. A B DEFINICJA x1 y1 xo f(x) xo 0 y y2 x2 f(xo) = 0. y3 x3 Przykłady obliczania miejsc zerowych dla funkcji określonych wzorami: Liczymy argument x = ? Wartość funkcji wynosi 0 y = 0 Funkcja liniowa y = 2x - 5 0 = 2x - 5 2x = 5 xo = 2,5 Funkcja kwadratowa y = x2 - 9 0 = x2- 9 x2 = 9 xo = 3 lub xo= - 3 *

  23. Miejsca zerowe można także odczytać z tabeli i wykresu. x -1 1 2 3 4 5 y -3 -1 0 -3 -4 -5 y = 0 dla xo = 2 Miejsce zerowe funkcji odczytujemy z wykresu, określając odciętą punktu przecięcia z osią OX. Dwa miejsca zeroweXo = - 2 i Xo = 2 Brak miejsc zerowych Jedno miejsce zeroweXo = 1

  24. Wartości funkcji + + + + + + + + + Wartości funkcji odczytujemy na osi Y. Dla argumentu x = - 3, wartość wynosi y = -2,5,dla argumentu x = 3, wartość wynosi y = 1. Y DODATNIE WARTOŚCI f(x) = y (3,1) X - - - - - - - - UJEMNE (- 3;-2.5) - -

  25. DODATNIE UJEMNE + + + JAKIE WARTOŚCI ? JAKIE ARGUMENTY? + + + + + + - - - - - - - - - - Dla x ( -6; -1,5) wartości funkcji są ujemne. Dla x  ( -1.5; 2) wartości funkcji wynoszą 0. Dla x  (2; 6) wartości funkcji są dodatnie. *

  26. FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚI

  27. FUNKCJA LINIOWA y =a x+b Jest to funkcja opisana wzorem y = ax+b, gdzie a i b są stałymi współczynnikami liczbowymi. x jest argumentem, y wartością funkcji, x R.  -Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. y - a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, wskazuje on kąt nachylenia prostej do osi OX. a = tg b=2 x - współczynnik b określa punkt przecięcia prostej z osią OY. *

  28. Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Jak rysujemywykresfunkcji liniowej? Żeby narysować prostą trzeba mieć co najmniej 2 punkty OBLICZENIA y = 3x+2 (1,5) jeżeli x=1 to y=3*1+2=5 punkt ( 1, 5 ) x = -2 to y=3*(-2)+2 = - 4 punkt (- 2, -4 ) TABELA x -2 1 WYKRES -4 5 y=3x+2 (-2, -4 ) *

  29. Wykresy funkcji y = axw zależności od współczynnika kierunkowegoa. (b=0) Różne współczynniki a, różne kąty nachylenia do osi OX a > 0 wykres leży w I i III ćwiartce a < 0 wykres leży w II i IV ćwiartce II I a=5 y= -5 x a=2 y= -2 x a=1/2 y = 2x a= -2 y = 5 x a= -5 III IV

  30. Wykresy funkcji liniowych y=ax+b b=10 b=2 y=2x+10 b=0 Współczynnik b - wskazuje punkt przecięcia z osią OY (0,b) b= -4 y=2x+2 b= -10 y=2x- 4 y=2x-10 Współczynnikkierunkowy a=2 wskazuje kąt nachylenia prostej do osi OX. (ten sam kąt - proste są równoległe) y=2x

  31. Monotoniczność funkcji liniowej y = ax+b Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni. np. y=2x+2 y = ax+b rosnąca a>0 Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest ujemny. np. y= -2x+2 stała a=0 Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy a wynosi 0. np. y=0x -2=-2 malejąca a<0 *

  32. Miejsce zerowe funkcji liniowej y = ax+b Miejscem zerowym funkcji jest argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0. Wartość funkcji wynosi 0 y = 0 y = 4x +5 Liczymy argument xo = ? 1,25 A= ( 1,25; 0) y = 4x - 5 0 = 4x - 5 4x = 5 x = 5/4 x = 1,25 X0 = 1,25 miejsce zerowe *

  33. + + + + + + + + + - - - - - Wartości funkcji liniowej y = ax+b JAKIE WARTOŚCI ? JAKIE ARGUMENTY? y = x + 1 DODATNIE UJEMNE - xo = -1 jest miejscem zerowym funkcji. Dla x > -1 wartości funkcji są dodatnie. Dla x< -1 wartości funkcji są ujemne. *

  34. Przykładem funkcji liniowej jest proporcjonalność prosta Wykres jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych y = ax, b=0 • Przykłady wielkości wprost proporcjonalnych • y=4x, x-długość boku y-obwód kwadratu • y=¶x, x-średnica okręgu y-długość okręgu • y=nx, x-długość boku wielokąta foremnego y-obwód wielokąta n- liczba boków • y=kx, x-ilość towaru y- wartość towaru k- cena towaru • s=vt, t-czas, s-droga, v prędkość w ruchu jednostajnym Wielkości x i y nazywamy wprost proporcjonalnymi *

  35. PRZYKŁADYFUNKCJI nieliniowych

  36. FUNKCJA KWADRATOWA Jest to funkcja opisana wzorem y = ax2 + b, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i ao. PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA Jest to funkcja opisana wzorem y = a /x gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0. MODUŁ LICZBY Jest to funkcja opisana wzorem y = | ax+ b | gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

  37. a y = — x y a0 x Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola a = x•y współczynnik proporcjonalności x i y nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Przykładem wielkości odwrotnie proporcjonalnych są długości zmieniających się boków prostokąta przy stałym polu. P =x•y x,y -długości boków. *

  38. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola 3 2 4 1 a>0 a<0 b=10 b=-5 y= 2x2 y = -2x2 y = 2x2 +10 y = 2x2 -5 *

  39. Moduł liczby to inaczej jej wartość bezwzględna. Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemną. y = x +2 y = x y =  x+2  Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję y = x

  40. Dziękuję za uwagęKoniec pokazu

More Related