Peluang Diskrit

1. PeluangDiskrit AchmadArwan, S.Kom

2. Blaise Pascal • Born June 19, 1623Clermont-Ferrand, France Died August 19, 1662 (aged 39) Paris, France • Memenangkantaruhantentanghasiltosduadadu yang dilakukanberulang-ulang

3. Pierre-Simon Laplace • Born 23 March 1749 Beaumont-en-Auge, Normandy, France • Died 5 March 1827 (aged 77) Paris, France • Mempelajaripeluangdalamjudi

4. Definisi • RuangSampeladalahhimpunandarisemuahasilygmungkinmuncul pd suatupercobaan. • Ruangsampeldilambangkandengan S • Anggotadarihimpunan S disebuttitiksampel • Ex: Ruangsampelpadaangkaygmuncul pd pelemparan 1 dadu • S={1,2,3,4,5,6} • 1= titiksampel

5. Definisi • Misalkan xi adalahtitiksampeldidalamruangsampel S, makapeluangbagi xi atau P(xi) adalahukurankemungkinanterjadinya xi diantaratitik-titiksampel yang lain • 0 ≤ P(xi) ≤ 1adalah nilaipeluang • Jumlahpeluangsemuatitiksampeldalamruangsampel =1 • S={1,2,3,4,5,6} maka • P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1

6. Finite probability • Kejadianadlhimpunanbagiandarisampel (S) • Kejadian/Event disimbolkan dg E • Kejadiansederhana (Simple Event) adalahkejadian yang hanyamengandungsatutitiksampel • Ex Padapercobaanmelempar 1 dadu, kejadian yang munculangkalebihdari 5  E={1} • percobaan yang sama, kejadian yang munculangkakurangdari 2  E=?

7. Finite probability • KejadianMajemuk (Compound Events) adlkejadian yang mengandunglebihdarisatutitik. • Ex Padapercobaanmelempar 1 dadu, kejadian yang munculangkalebihdari 3  E={4,5,6} • Padapercobaanmelempar 1 dadu, kejadian yang munculangkaGanjil E={1,3,5}

8. Menghitungpeluang • Peluangkejadian E diruangsampel S adalah • P(E)=|E|/|S| • Ex Berapakahpeluangmunculnyaangkagenap pd pelemparandadu? • Solusi, S={1,2,3,4,5,6} , E={2,4,6} • P(E)=|E|/|S| 3/6 = 1/2

9. Latihan • Jikaadasebuahdadudilempar, berapakahpeluangmunculfaktorpembagiangka 4 ? • Jikakarturemidiambil 1, berapakahpeluangmunculnyakartu king? • Jikakarturemidiambil 1, berapakahpeluangmunculnyakartu As Wajik?

10. KombinasiKejadian Teorema. Jika E1, E2, … adalahbarisankejadian yang salingbebasdalamruangsampel S, maka

11. Contoh • Berapapeluangterjadinyafaktorpembagiangka 2 danfaktorpembagiangka 3 dalam 1 pelemparandadu?

12. PeluangKondisional Jikasuatuuanglogamdilemparkantiga kali, dankedelapankeluaranmemilikikemungkinan yang sama. Misalkankitatahubahwakejadian F, yaitupelemparanpertamamenghasilkanmuka, terjadi. Berapakahpeluangkejadian E, yaitubagianmukaakanmunculsejumlahganjil? Karenahasilpelemparanpertamaadalahmuka, makakeluaran yang mungkinadalah MMM, MMB, MBM, dan MBB. Kemunculanmukadalamjumlahganjilterjadisebanyakdua kali. Maka, peluang E, dengansyarat F terjadi, adalah 0.5. InidinamakanPeluangKondisional.

13. PeluangKondisional • Untukmemperolehpeluangkondisionaldarikejadian E diberikan F, digunakan • (a) F sebagairuangsampel, dan • (b) setiapkeluarandari E yang munculharusjugaberadadalam E  F. • Definisi. • Misalkan E dan F kejadiandengan p(F) > 0.Peluangkondisionaldari E diberikan F, dinotasikanoleh p(E | F), didefinisikansebagai • p(E | F) = p(E  F)/p(F)

14. Contoh Suatu string bit denganpanjang 4 dibangunsecaraacaksehinggasetiap 16 string denganpanjang 4 memilikikemungkinan yang sama. Berapakahpeluang string memuat paling sedikitduaangka 0 yang berurutan, diberikanbahwa bit pertamanyaadalah 0 ?

15. Solusi Misalkan E: kejadianbahwa string memuat paling sedikitduaangka 0 yang berurutan. F: kejadianbahwa bit pertamadari string adalah 0. E  F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} p(E  F) = 5/16 p(F) = 8/16 = 1/2 p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625

16. Independensi • Bila A dan B adalahduakejadiansembarang yang berlaku A  B= 0, makadikatakan A & B duakejadian yang Independen (SalingBebas) • KejadianIndependenartinyakejadian A dan B tidakmungkinterjadibersamaan.

17. Independensi • Karenasalinglepasmaka|A  B| = 0, sehingga • p(A  B) = p(A)+ p(B) • Dan • p(A  B) = p(A).p(B)

18. Contoh • PadapelemparanduakoinbersamaanBerapakahpeluangkeluarnyakoin 1 sisiDepandankoin 2 sisiBelakang

19. Solusi • Kejadiantersebutsalinglepas • A = koin 1 Muka • B = Koin 2 Muka • P(A)=1/2 • P(B)=1/2 • P(A B)=1/2.1/2=1/4

20. PercobaanBernouli Misalkansuatueksperimenhanyamemilikiduakeluaran yang mungkin. Contoh.pelemparansebuahkoin. Setiappelaksanaansuatueksperimen yang demikiandisebutPERCOBAAN BERNOULLI. Secaraumum, keduakeluaran yang mungkintadidisebutkesuksesanataukegagalan. Jika p adalahpeluangsuksesdan q peluanggagal, jelas p + q = 1.

21. TeoremaBernuolli Peluang k suksesdalam n percobaan Bernoulli yang salingbebas, denganpeluangsukses p danpeluanggagal q = 1 – p, adalah C(n, k) pkqn-k. Inidinotasikandenganb(k; n, p). Jika b dipandangsebagaifungsidari k, maka b dikatakansebagaidistribusi binomial.

22. Ilustrasi Misalkan ‘S’: suksesdan ‘F’: gagal, denganpeluangsukses p danpeluanggagal q = 1 – p. Berapakahpeluangdariduasuksesdalam lima percobaan Bernoulli yang salingbebas? Lihatsalahsatubarisankeluaran yang mungkin: SSFFF Berapakahpeluangkitaakanmembangunbarisanini?

23. Ilustrasi • Barisan: S S F FF • Peluang: P P Q QQ = P²Q³ • Barisan lain ygmungkin • Barisan: F S F S F • Peluang: Q P Q P Q = P²Q³ • Setiapbarisandenganduasuksesdalamduapercobaanterjadidenganpeluang p2q3.

24. Ilustrasi Sekarang, adaberapabanyakbarisan yang mungkin? Dengankata lain, adaberapacarauntukmemilihduaobyekdaridaftar yang berisi lima obyek? Ada C(5, 2) = 10 cara, sehinggaterdapat 10 barisan yang mungkin, setiapbarisanterjadidenganpeluang p2q3. Maka, peluangsalahsatudaribarisantersebutmunculpadasaatmelakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p2q3. Secaraumum, untuk k suksesdalam n percobaan Bernoulli, kitamemilikipeluangC(n,k) pkqn-k.

25. Contoh Sebuahdadudilempar 6 kali berturut-turut. Carilah (a) p(muncultepatempatangka 1). (b) p(tidakadaangka 6 yang muncul).

26. Jawab (a) Iniadalahcontohdarisuatubarisandenganenampercobaan Bernoulli yang salingbebas, dimanapeluangsuksesadalah 1/6 danpeluanggagal 5/6. Karenaitu, peluangmuncultepatempatangka 1 padasaatdadudilemparkan 6 kali adalah (b) Dalamkasusinisuksesadalahkemunculanangkaselain 6, yang memilikipeluang 5/6 dangagaladalahkemunculanangka 6, yang peluangnya 1/6. Makapeluangtidakadaangka 6 yang munculpadasaatdadudilemparkan 6 kali adalah

27. Variabelacak Dalambanyakeksperimen, kitainginmemadankannilainumerikpadasetiapkeluaran yang mungkinuntukmemungkinkananalisamatematisdarieksperimentersebut. Untuktujuanini, diperkenalkanvariabelacak. Definisi. Suatuvariabelacakadalahfungsidariruangsampeldarisuatueksperimenkehimpunanbilangan real. Yaitu, variabelacakmemadankansuatubilangan real tertentupadasetiapkeluaran yang mungkin. Catatan. • Variabelacakadalahfungsi, bukanvariabel. • Variabelacaktidakdilakukansecaraacak, tetapimemetakanhasileksperimen yang acakkebilangan real secaraterdefinisidenganbaik.

28. Contoh X(ibujari,ibujari) = 0 Misalkan X adalah hasil permainan “suit”. Jika pemain A memilih jari a dan B memilih jari b, maka = 1, jika A menang, X(a,b) = 0, jika A dan B memilih jari yang sama, = -1, jika B menang. X(ibujari,kelingking) = -1 X(ibujari,telunjuk) = 1 X(kelingking,ibujari) = 1 X(kelingking,kelingking) = 0 X(kelingking,telunjuk) = -1 X(telunjuk,ibujari) = -1 X(telunjuk,kelingking) = 1 X(telunjuk,telunjuk) = 0

29. The Birthday Problem Berapa jumlah minimum orang yang diperlukan sehingga peluang bahwa sedikitnya dua di antara mereka mempunyai tanggal ulang tahun yang sama adalah lebih besar dari ½?

30. The Birthday Problem (2) n: jumlahorang pn: peluangbahwasetiaporangmempunyaitanggalulangtahun yang berbeda. Maka Dan 1 – pn ≥ 0,5 jika n ≥ 23