1 / 17

5. SISTEM PERSAMAAN LINIER

5. SISTEM PERSAMAAN LINIER. 5.1 Solusi Sistem Persamaan Linier

kelton
Download Presentation

5. SISTEM PERSAMAAN LINIER

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 5. SISTEM PERSAMAAN LINIER

  2. 5.1 Solusi Sistem Persamaan Linier Kita telah mengenal penyelesaian sistem persamaan linier, seperti eliminasi Gauss, Gauss-Jordan, atau metode balikan matriks. Metode-metode tersebut termasuk metode langsung. Pada bab ini akan dibahas metode tak langsung atau disebut juga metode iterasi. 5.2 Metode Iterasi Sistem Persamaan Linier Metode iterasi yang akan dibahas adalah metode iterasi Jacobi, dan Gauss-Seidel. Pada metode Jacobi, nilai hampiran dikoreksi secara serentak. Artinya nilai hampiran mengacu pada nilai hampiran sebelumnya. Sedangkan pada metode Gauss-Seidel, nilai hampiran dihitung berdasarkan nilai hampiran terbaru atau terakhir.

  3. Misal terdapat sistem persamaan linier, a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn = b3 ⋮ ⋮ . . . ⋮ ⋮ an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn Jika sistem persamaan linier tersebut ditulis dalam bentuk matriks, maka (5.1) = (5.2)

  4. Misal = x = A = b (5.3) maka Ax = b Ingat! Seluruh elemen diagonal pada A 0. Jika ada elemen diagonal = 0, lakukan pertukaran baris.

  5. Matriks A dapat diuraikan menjadi + +

  6. adalah matriks diagonal = D adalah matriks segitiga bawah = L adalah matriks segitiga atas = U

  7. 5.3 Metode Iterasi Jacobi Metode iterasi Jacobi adalah metode iterasi yang menghitung nilai hampiran sekarang atau terbaru dengan mengacu pada nilai hampiran sebelumnya. Karena A = D + L + U, maka dari persamaan (5.3) didapat (D + L + U)x = b Dx + (L + U)x = b Dx = b – (L + U)x x = D–1b – D–1(L + U)x x(k +1) = D–1b – D–1(L + U)x(k)(5.4) (5.5)

  8. Dalam bentuk sistem persamaan dapat disusun sebagai berikut. ⋮

  9. 5.4 Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode iterasi yang menghitung nilai hampiran sekarang dengan mengacu pada nilai hampiran terbaru. Karena A = D + L + U, maka dari pers. (5.3) didapat (D + L + U)x = b Dx + Lx + Ux = b Dx = b – Lx – Ux x = D–1b – D–1Lx – D–1Ux x(k +1) = D–1b – D–1Lx(k +1) – D–1Ux(k) (5.6) (5.7)

  10. Dalam bentuk sistem persamaan dapat disusun sebagai berikut. ⋮

  11. 5.5 Konvergensi Iterasi Gauss-Seidel dan Jacobi Syarat cukup agar iterasi konvergen, maka sistem persamaan linier harus mempunyai bentuk dominan secara diagonal. Dalam bentuk matriks, A harus merupakan matriks dominan secara diagonal. Dalam bentuk pertaksamaan, (5.8)

  12. Contoh 5.1 Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel dan Jacobi. 4x1 + 2x2 + x3 = 15 x1 + 5x2 – x3 = 7 x1 + x2 + 8x3 = 12 s = 0,000005 Penyelesaian Nilai awal x1(0) = 0, x2(0) = 0, x3(0) = 0 Metode Iterasi Jacobi

  13. Metode Iterasi Gauss-Seidel

  14. Tugas Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel dan Jacobi. 2x1+ 8x2 + 2x3 – 3x4 = 8 5x1 + 2x2+ x3 – x4 = 10 3x1 + 4x2– x3– 9x4 = 4 x1 + 2x2 + 4x3+ x4= –2

More Related