Priamka v rovine

1. Priamka v rovine Analytická geometria lineárnych útvarov

2. Čím je priamka určená • pevným bodom (A) • smerovým vektorom (s) p s A • všetky rovnobežné priamky majú rovnaký smerový vektor • priamku z nich určuje pevný bod

3. Ako priamku vyjadriť • Parametrickým vyjadrením (PVP) • Všeobecnou rovnicou (VRP) • Základný tvar • Smernicový tvar

4. Parametrické vyjadrenie priamky PVP: X = A + t.s, t R podľa súradníc: p: x = a1 + t.s1 y = a2 + t.s2 p s A A[a1;a2] s = (s1;s2)

5. Príklad 1 Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom A[1,-3] a má smerový vektor s = (2,-4) p: x = a1 + t.s1 y = a2 + t.s2 p: x = 1 + 2t y = -3 – 4t

6. Príklad 2 Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodmi A[2,-4] a B[-3,-1] p: x = 2 – 5t y = -4 + 3t alebo p: x = a1 + t.s1 y = a2 + t.s2 p: x = -3 – 5t y = -1 + 3t

7. Príklady • Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom F[-2,6] a má smerový vektor s = (-8,9). • Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom H[5,-7] a má smerový vektor s = (0,2). • Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodmi S[-3,-3] a T[7,-6]. • Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodmi E[0,4] a F[4,5]. riešenie

8. Príklady • Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom K[-3,-3] a je rovnobežná s priamkou p: x=1+3t, y=4-5t. • Zistite, či body G[-2,1], H[7,-6] ležia na priamke p: x=1+3t, y=4-5t. • Napíšte PVP priamky, ktorá prechádza bodom E[0,4] a je rovnobežná s priamkou, ktorá prechádza bodmi F[4,5] a G[-3,-2]. riešenie

9. Príklady učebnica M5 • riešené 49/Pr.36 - 40 • neriešené 51/1 - 4

10. Všeobecná rovnica priamky • pevným bodom (A) • normálovým vektorom (n) p s n A[a1;a2] s = (s1;s2) n = (a;b) A VRP: ax + by + c= 0 s  n s = (s1;s2) n = (s2;-s1)

11. Príklad 3 Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodom A[2,-4] a má normálový vektor n=(-3,-1) p: ax + by + c = 0

12. Príklad 4 Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodmi A[2,-4] a B[-3,-1] p: ax + by + c = 0

13. Príklad 5 Napíšte PVP priamky, ktorá má rovnicu x – 2y + 3 = 0 p: x = a1 + t.s1 y = a2 + t.s2 p: x = 1 + 2t y = 2 + t

14. Príklady • Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodom F[-2,6] a má normálový vektor n = (-8,9). • Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodom H[5,-7] a má smerový vektor s = (0,2). • Napíšte VRP priamky, ktorá je kolmá na priamku, ktorá prechádza bodmi S[-3,-3] a T[7,-6]. • Napíšte VRP priamky, ktorá prechádza bodmi E[0,4] a F[4,5]. riešenie

15. Príklady • Nájdite bod a oba vektory priamky s vyjadrením p: x = 2 + 3t, y = -3 – 5t. • Napíšte VRP priamky, ktorá má vyjadrenie p: x = 4t; y = 4 + 1t. • Napíšte PVP priamky, ktorá má rovnicu p:2x-3y+6=0 riešenie

16. Príklady učebnica M5 • riešené 53/Pr.41 - 44 • neriešené 55/1 - 6

17. Smernicový tvar rovnice priamky nahradíme: Vychádza z VRP: ax + by + c= 0 vyjadríme y: dostaneme:

18. p: y = kx + q • číslo q je bod na osi y, ktorým prechádza priamka • číslo k je smernica priamky  tangens smerového uhla  uhol, ktorý zviera priamka s osou x

19. Príklad 6 Upravte rovnicu x – 2y + 3 = 0 na smernicový tvar

20. Príklad 7 Napíšte smernicový tvar rovnice priamky a jej všeobecnú rovnicu, ak prechádza bodom A[-2,3] a s osou x zviera uhol 45.

21. Príklady učebnica M5 • riešené 56/Pr.45, 58/Pr. 46 – 49 • neriešené 60/1 – 8

22. koniec

23. Riešenia • p: x = -2 – 8t; y = 6 + 9t • p: x = 5; y = -7 + 2t • p: x = -3 + 10t; y = -3 – 3t • p: x = 4t; y = 4 + 1t • p: x = -3 + 3t, y = -3 – 5t • bod G neleží, bod H leží • p: x = – 7t, y = 4 – 7t

24. Riešenia • p: 8x – 9y + 70 = 0 • 2x – 10 = 0 • 10x – 3y + 21 = 0 • x – 4y + 16 = 0 • A[2;-3], s = (3;-5), n= (5;3) alebo n = (-5;-3) • y – 4 = 0 • napr: p: x = 3t, y = 2+2t späť