Matematika III. előadások MINB083, MILB083

1. Matematika III. előadásokMINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 2. téma Görbék derivált vektora. Görbék érintője. Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. Görbék ívhossza. Felületek megadási módja. Felületek érintő síkja. Felületek felszíne. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

2. Görbék derivált vektora 1. Definíció: Az vektor – skalár függvény a t0 helyen differenciálható, ha létezik a határérték . Ezt a határértéket a t0 helyen vett differenciálhányados-vektornak nevezzük Derivált vektor keletkezése Jelölések Kiszámítás 2 dimenziós esetben Érintő vektor Animáció PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

3. Görbék érintőjének meghatározása Húzzunk érintőt a pontban az görbéhez! Húzzunk érintőt a pontban az görbéhez! 2 dimenziós eset Az érintő egyenes egyenletrendszere Az érintő egyenes vektor egyenlete 3 dimenziós eset Az érintő egyenes egyenletrendszere Az érintő egyenes vektor egyenlete PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

4. Ha egy anyagi pont pályája , akkor sebességvektora és gyorsulás vektora Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. PÉLDA. Egyenletes szögsebességgel forgó mozgás Helyvektor A sebességvektor a mozgás első derivált vektora A gyorsulásvektor a mozgás második derivált vektora A sebességvektor és a gyorsulásvektor most egymásra merőlegesek, mert skaláris szorzatuk 0. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

5. Görbék ívhossza 2. Definíció: Görbe ívhosszán a beírt poligonok összhosszának határértékét értjük, midőn a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ha létezik a határérték és véges, akkor azt mondjuk, hogy a görbe rektifikálható. Legyen az r =r(t) görbe folytonosan differenciálható a [t0,t1] intervallumon! Polárkoordináta - rendszerben 2 dimenziós esetben 3 dimenziós esetben PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

6. Az ívhossz, mint paraméter Számoljuk ki az ívhosszat a [t0,t] interval-lumon, ahol a felsőhatár változik! Az ívhossz t-szerinti deriváltja pozitív! Tehát s(t) szigorúan monoton növekvő függvény. Ezért létezik az inverze! A görbe helyvektora a t paraméterrel! A görbe helyvektora az s ívhossz paraméterrel! A derivált vektor hossza 1 lesz, ha a paraméter az s ívhossz! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

7. Példa: csavarvonal ívhossza. A csavarvonal helyvektora A csavarvonal derivált vektora A csavarvonal ívhosszának számítása A t paraméter az s ívhossz függvényében A t paraméter helyére az ívhosszat tesszük paraméterként A görbe deriváltja ívhossz szerint Az ívhossz szerinti derivált vektor hossza 1 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

8. Felületek megadási módja Explicit alak Implicit alak Paraméteres alak PÉLDA: Egység sugarú gömbfelület különböző megadási lehetőségei PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

9. Felületek érintő síkja paraméteres esetben a sík normálvektora az érintési pont TÉTELHa r(u,v)= [ x(u,v), y(u,v) , z(u,v) ] a felület paraméteres alakjában az x, y és z két-változós függvények parciális deriváltjai folytonosak, akkor az érintősík normálvektora ha az n vektor nem a nullvektor. Sík egyenlete általánosan A normálvektor számítása paraméteresen adott felületek esetén PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

10. Bizonyítás Belátjuk, hogy tetszőleges felületre rajzolt görbe érintő vektora merőleges a tételben adott n normálvektorra, azaz mindig egy síkban vannak az érintő vektorok. Felületek érintő síkja paraméteres esetben Az összetett függvény deriválási szabálya alapján A merőlegesség bizonyításához megmutatjuk, hogy a skaláris szorzat nulla! Ahol felhasználtuk, hogy a vektoriális szorzat merőleges mindkét tényezőjére. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

11. Felületek érintő síkja explicit esetben Az r(x,y)=[x, y, z(x,y) ] explicit alakú felületnél a paraméterek u=x és v=y A vektoriális szorzat A normál vektor Az érintősík egyenletére a kétváltozós függvényeknél megismert formula adódik. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

12. lokálisan a P0 pont környezetében = Felületek érintő síkja implicit esetben Legyen adva a felület F(x,y,z)=0 implicit alakban. Ekkor tetszőleges P0(x0;y0;z0) pont környezetében az egyik változó általában kifejezhető a másik kettővel, mint független változóval. Legyen pl. z a függő változó: z=z(x,y). Deriváljuk x és y –szerint a fenti egyenletet és használjuk a láncszabályt! normálvektor érintősík PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

13. T Felületek felszíne DEFINÍCIÓ Az r(u,v) paraméteresen adott felület felszínét a T tartomány felett a következő határértékkel értelmezzük, ha létezik. Osszuk fel háromszögekre a T tartományt és vetítsük a háromszögeket a felületre! A kapott háromszögfelosztás területének összege közelíti a felület felszínét. Finomítsuk a háromszögfelosztást minden határon túl. Ha létezik a térbeli poliéderek összterületének határértéke, akkor ez lesz a felület felszíne. Elemi felület felszíne Ezeket összegezve a T tartomány feletti kettősintegrált kapunk PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

14. Felületek felszíne DEFINÍCIÓ. Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek T T Alakítsuk át a normálvektor hosszának négyzetét! Így a felszín képlet Explicit alakban PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

15. Példa: a gömb felszínének számítása = ó ó æ ¶ ö æ ¶ ö ô ô = = ç ÷ ç ÷ ô ô r ( u , v ) x r ( u , v ) d u d v ç ÷ ç ÷ ô ô è ¶ ø è ¶ ø ô ô u v õ õ A gömb paraméteres alakja Parciális deriváltak Vektoriális szorzat Felszín = T PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

16. E = = G = = F = Példa: tórusz felszínének számítása A tórusz paraméteres alakja 0< b < a 0< u < 2p 0< v < 2p Parciális derivált u-szerint Parciális derivált v-szerint PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

17. = = Példa: tórusz felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály