Poglavlje 4

1. Poglavlje 4 Korisnost

2. f ~ Preferencije - podsetnik p • x y: x je striktno preferirano u odnosu nay. • x ~ y: xi y su podjednako preferirani. • xy: xje preferirano najmanje toliko koliko je preferiranoy.

3. f f ~ ~ • Potpunost:Za bilo koje dve korpe dobara x i y ovek je moguće reći da je y x ili x y

4. f ~ • Refleksivnost:Za svaku korpu x uvek važi da je u najmanju ruku preferirana koliko i ona sama; tj. x x.

5. f f f ~ ~ ~ • Tranzitivnost:Ukoliko je • xslabo preferirano u odnosu nay, iyslabo preferirano u odnosu naz, tada je xslabo preferirano u odnosu naz; tj. x y iy z x z.

6. Funkcije korisnosti • Relacije preferencija koje su kompletne, refleksivne, tranzitivne i neprekidnemogu biti predstavljene neprekidnom funkcijom korisnosti. • Neprekidnost znači da male promene u korpama dobara izazivaju samo male promene nivoa preferencija.

7. f ~ • Funkcija korisnostiU(x) predstavljarelaciju preferencijaako i samo ako: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”). p p

8. Korisnost jeordinalankoncept (uspostavlja se poredak prema korisnosti različitih korpi dobara) • Npr.ukoliko jeU(x) = 6iU(y) = 2tadaje korpaxstriktno preferirana u odnosu na korpuy. Ali korpax nije tri puta više preferirana u odnosu na korpuy.

9. Funkcije korisnosti & krive indiferentnosti • Posmatrajmo korpe (4,1), (2,3) i (2,2). • Pretpostavimo (2,3) (4,1) ~ (2,2). • Pripišimo ovim korpama brojeve koji čuvaju rangiranje korpi prema preferencijama;npr. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4. • Nazovimo ove brojevenivoima korisnosti. p

10. Na jednoj krivi indiferentnosti nalaze se korpe koje su podjejdnako preferirane od strane potoršača. • Jednaka preferencijaisti nivo korisnosti • Zbog toga sve korpe na istoj krivi indiferentnostimaju isti nivo korisnosti.

11. Prema tome, korpe(4,1) i (2,2)nalaze se na istoj krivi idiferentnosti i imaju korisnostUº 4 • Ali korpa(2,3)nalazi se na krivi indiferentnosti i ima korisnostU º 6. • Na dijagramu krivih indiferentnosti ovu informaciju o preferencijama prikazujemo na sedeći način:

12. x2 (2,3)(2,2)~(4,1) p U º 6 U º 4 x1

13. Drugi način da istu informaciju prikažemo grafički jeste da nanesemo nivo korisnosti na vertikalnoj osi.

14. Korisnost U(2,3) = 6 U(2,2) = 4 U(4,1) = 4 x2 x1

15. Ova vizualizacija preferencija u 3D može biti još jasnija ako unesemo cele krive indiferentnosti.

16. Korisnost U º 6 U º 4 x2 Više krive indiferentnosti sadrže korpe koje su više preferirane x1

17. Poređenjem više korpi dolazimo do većeg skupa svih krivih indiferentnosti i boljeg opisa potrošačevih preferencija.

18. x2 U º 6 U º 4 U º 2 x1

19. Kao i ranije, ovo može biti predstavljeno u 3D unošenjem svake krive indiferentnosti na visini njenog indeksa korisnosti.

20. Korisnost U º 6 U º 5 U º 4 U º 3 x2 U º 2 U º 1 x1

21. Poređenjem svih mogućih korpi dobijamo familiju krivih indiferentnosti potrošača, od kojih svaka ima odgovarajući indeks korisnosti. • Ovakav potpun skup krivih indiferentnosti odražava potrošačeve preferencije.

22. x2 x1

23. x1

24. Kolekcija svih krivih indiferentnosti za zadate relacije preferencija predstavlja mapu indiferentnosti. • Mapa indiferentnosti ekvivalentna je funkciji korisnosti; svaka predstavlja onu drugu.

25. Ne postoji jedinstvena funkcija korisnosti kojom su predstavljene relacije preferencija. • Neka funkcijaU(x1,x2) = x1x2reprezentuje relacije preferencija. • Ponovo posmatrajmo korpe(4,1),(2,3) i (2,2).

26. U(x1,x2) = x1x2, pa imamoU(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;tj., (2,3) (4,1) ~ (2,2). p

27. p • U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). • Definišimo V = U2. • Tada jeV(x1,x2) = x12x22iV(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16pa opet imamo(2,3) (4,1) ~(2,2). • Včuva isti poredak koji dajeUpa zbog toga predstavlja iste preferencije. p

28. p • U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). • Definišimo W = 2U + 10. • Tada je W(x1,x2) = 2x1x2+10 pa imamoW(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. Ponovo imamo,(2,3) (4,1) ~ (2,2). • W čuva isti poredak koji daju U i V pa zbog toga predstavlja iste preferencije. p

29. Ukoliko • Uje funkcija korisnosti kojom su predstavljene relacije preferencija i • fje striktno rastuća funkcija, • tada jeV = f(U)takođe funkcija korisnosti kojom su predstavljene ove preferencije.

30. Normalna, neželjena i neutralna dobra • Normalno dobro je ono koje sa svakom dodatnom jedinicom tog dobra povećava korisnost (daje korpu dobara koju potrošač više preferira). • Neželjeno dobro je ono koje sa svakom dodatnom jedinicom tog dobra smanjuje korisnost (daje korpu dobara koju potrošač manje preferira). • Neutralno dobro je ono koje sa svakom dodatnom jedinicom tog dobra ne menja korisnost (daje korpu dobara koju potrošač jednako preferira).

31. Korisnost Funkcija korisnosti Jedinice vode su normalna dobra Jedinice vode su neželjena dobra Voda x’ U okolini x’ jedinica, mala količina ekstra vode je neutralna.

32. Neke druge funkcije korisnosti i njihove krive indiferentnosti • UmestoU(x1,x2) = x1x2 posmatrajmo V(x1,x2) = x1 + x2. • Kako izgledaju krive indiferentnosti u slučaju funkcije korisnosti kod “savršenih supstituta”?

33. x2 x1 + x2 = 5 13 x1 + x2 = 9 9 x1 + x2 = 13 5 V(x1,x2) = x1 + x2. 5 9 13 x1

34. Sada posmatrajmo W(x1,x2) = min{x1,x2}. Kako izgledaju krive indiferentnosti u slučaju funkcije korisnosti kod “savršenih komplemenata”?

35. x2 45o W(x1,x2) = min{x1,x2} min{x1,x2} = 8 8 min{x1,x2} = 5 5 3 min{x1,x2} = 3 5 3 8 x1 Sve predstavljaju prav ugao koji leži na zraku koji polazi iz koordinatnog početka

36. Kvazilinearne funkcije korisnosti i njihove krive indiferentnosti • Funkcija korisnosti oblikaU(x1,x2) = f(x1) + x2koja je linearna samo pox2, naziva sekvazilinearnom funkcijom korisnosti. • Npr. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.

37. x2 Svaka kriva predstavlja vertikalno pomerenu kopiju drugih krivih x1

38. Neke druge funkcije korisnosti i njihove krive indiferentnosti • Svaka funkcija korisnosti oblikaU(x1,x2) = x1ax2bgde jea > 0ib > 0naziva seKob-Daglasovomfunkcijom korisnosti. • Npr.U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)

39. x2 Sve krive su hiperbole koje kao asimptote imaju koordinatne ose x1

40. Granična korisnost • Granična znači“dodajna”. • Granična korisnost dobra ipredstavlja stopu promene ukupne korisnosti sa promenom potrošnje dobra i :

41. Npr.,ukoliko jeU(x1,x2) = x11/2 x22, tada je

42. Npr., ukoliko je U(x1,x2) = x11/2 x22 ,tada je

43. Dakle,ukoliko jeU(x1,x2) = x11/2 x22, onda je

44. Granične korisnosti i granična stopa supstitucije • Opšta jednačina krive indiferentnosti glasi U(x1,x2) º k, kde je kkonstantno. Tatalan diferencijal ovog izraza daje:

45. pa preuređujući imamo

46. što daje Ovo je izraz za GSS.

47. Primer • Neka jeU(x1,x2) = x1x2. Tada pa je

48. U(x1,x2) = x1x2; x2 8 GSS(1,8) = - 8/1 = -8GSS(6,6) = - 6/6 = -1. 6 U = 36 U = 8 x1 1 6

49. GSS i kvazilinearne funkcije korisnosti • Kvazilinearna funkcija korisnosti je oblika U(x1,x2) = f(x1) + x2. Dakle,

50. GSS = - f ‘ (x1)ne zavisi odx2pa je nagib krivih indiferentnosti za kvazilinearnu funkciju korisnosti konstantan za svaku liniju za koju je vrednostx1konstantna. • Kako izgleda mapa indiferentnosti za jednu kvazilinernu funkciju korisnosti?