INVESTIČNÍ MATEMATIKA

1. INVESTIČNÍ MATEMATIKA VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.

2. DLUHOPISOVÉ PORTFOLIO • DURACE Je aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise.

3. průměrná doba do splatnosti • průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova)

4. Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10%

5. -dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena dluhopisu opačným směrem při změně výnosů

6. Durace je tím nižší čím: • vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti • dříve platba z daného instrumentu nastává • kratší je celková doba do splatnosti

7. čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb • vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem: 1. PV ↑  y↓ 2. PV ↓  y↑

8. Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu, jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive zvýší o 1%.

9. Při změně ve výnosech hrozí: • a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy) • b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy)

10. Investiční horizont: • krátký  utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů (kapitálová ztráta  výnos z reinvestice) • dlouhý  utrpíme ztrátu při poklesu výnosů (ztráta z reinvestice  kapitálový výnos)

11. Snaha o eliminaci obou uvedených rizik (imunizace): • Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů.

17. Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, C takto: A… n = 3, FV = 1.157.625 Kč B… n = 2, FV = 551.250 Kč n = 4, FV = 607.753 Kč C… n = 1, FV = 525.000 Kč n = 5, FV = 638.141 Kč

18. P C 1.000.000 B A 5% Y (%)

19. Konvexita portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr konvexit jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia.

20. CX =

21. Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1%

22. Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s následujícími parametry: A: n = 5, c = 12%, y = 12% B: n = 2, c = 0%, y = 10% Jak budeme investovat na 3 roky?

23. AKCIOVÉ PORTFOLIO • Investiční strategie, kdy je optimalizován výnos vzhledem k riziku investice.

24. Akcie – A1, A2, A3, … • Váhy – a1, a2, a3, … • Výnosové procento – rp (průměrná míra zisku) • Riziko – σp směrodatná odchylka • Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo více proměnnými • Kovariance – statistický pojem odvozený od běžného rozptylu, který popisuje rozsah, v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou měrou

27. Kovarianční koeficient – σij • Korelační koeficient – ρij

28. Rozptyl: součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru dělený počtem hodnot (σ2). • Směrodatná odchylka: druhá odmocnina rozptylu (σ).

29. Př: Je dáno portfolio P s vahami a1 = 0,7 a a2 = 0,3 a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry: a) nalezněte výnos a riziko portfolia P b) nalezněte kovarianční matici

30. Korelační koeficient: ρij = 1 ρij = - 1 ρij = 0

31. Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty akcií:

32. Riziko portfolia : Směrodatná odchylka

33. Kovarianční matice:

34. Př: Jsou dány kovariance σ12 = -3, σ21 = 6 a rizika σ1 = 5, σ2 = 10. Určete kovarianční matici a riziko portfolia, jestliže a1 = 0,7 a a2 = 0,3. Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy prohodí?

35. DERIVÁTY • Forvardové kontrakty – forvardy • Opční kontrakty – opce termínované kontrakty – plnění v budoucnosti

36. Forvard – „závazek“ koupit či prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu - k dohodnutému datu

37. Opce –„právo“ koupit či prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu - k dohodnutému datu

38. Forvard: - mám závazek koupit – dlouhá pozice ( long position ) - mám závazek prodat – krátká pozice ( short position )

39. F – cena forvardu • S – obchodní cena • T – okamžik uzavření kontraktu • t - okamžik uzavření obchodu • r – spojitá roční úroková míra Ft = St er(T-t)

40. Př: Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž roční forwardová cena je rovna Ft = 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. Jakým způsobem tuto situaci využijeme?

41. Futures kontrakty: standardizované – všichni nakupují (prodávají) stejný kontrakt na předem stanovený počet akcií, vypořádaný ke stejnému datu a většinou garantovaný burzou či jinak

42. Riziko ztráty: • dlouhá pozice (koupit) – musím koupit, i když cena akcií poklesne - ( ST – Ft ) • krátká pozice (prodat) – musím prodat, i když cena akcií stoupne - ( Ft – ST )

43. Krátká Dlouhá ST Ft Zisk

44. Opce – „právo“ koupit či prodat Call opce (nákupní) – právo koupit - určitý počet akcií - za určenou cenu X - k dohodnutému datu

45. Put opce (prodejní) – právo prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu X - k dohodnutému datu

46. dlouhá pozice – kupuje • krátká pozice – prodává

47. Evropská– opce může být uplatněna pouze v čase T • Americká – opce může být uplatněna i před časem T

48. zisk call cena X • Call opce uplatněna právě tehdy když ST> X – zisk = max { ST - X ; 0}

49. zisk put cena X • Put opce uplatněna právě tehdy když ST< X – zisk = max { X - ST; 0}

50. zisk Call long -c cena X Platba za vstup do dlouhé pozice – „c“